2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件学案，共10页。

[学生用书P4]
一、知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
常用结论
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若Aeq \(⊆,\s\up0(/))B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
二、习题改编
1．(选修2­1P12A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)．
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：若x≤y，则x2≤y2 假
2．(选修2­1P12A组T3改编)设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．
解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．(选修2­1P8A组T2改编)原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．
答案：2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“peq \(⇒,\s\up0(/))q”成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)命题的条件与结论不明确；
(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；
(3)对充分必要条件判断错误．
1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．
答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0.
2．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．
答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.
3．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以a<2.
答案：(1)a≥2 (2)a<2
[学生用书P5]
四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－12．有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
3．已知集合P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，Q＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.因为P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(2k＋1,2)))
{k∈Z}，Q＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，
所以PQ，
所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
eq \a\vs4\al()
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；
②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
充分条件、必要条件的判断(师生共研)
(1)(2020·烟台模拟)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“eq \f(1,a)>eq \f(1,b)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·佛山模拟)已知p：x＝2，q：x－2＝eq \r(2－x)，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0.当0eq \f(1,b)成立；当a>0，b<0时，满足eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，但0a>0”是“eq \f(1,a)>eq \f(1,b)”的充分不必要条件，故选A.
(2)当x－2＝eq \r(2－x)时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝eq \r(1)，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C.
【答案】 (1)A (2)C
eq \a\vs4\al()
判断充要条件的3种常用方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
[提醒] 判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由x2－5x<0可得02．(2020·安徽淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.
充分条件、必要条件的探求及应用
(典例迁移)
(1)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1C．x>－1 D．－1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．
【解析】 (1)因为集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，又因为“x∈A且x∉B”，所以－1(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【答案】 (1)D (2)[0，3]
【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，
所以P⇒S且S⇒P.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＜－2，,1＋m≥10.))
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
解析：选C.命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.
2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3
[学生用书P333(单独成册)]
[基础题组练]
1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是 ( )
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0
解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.
3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cs x≠cs y”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cs x≠cs y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cs x＝cs y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．
4．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若eq \r(2)x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；
对于②，原命题为真，故逆否命题为真；
对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；
对于④，“若eq \r(2)x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.
5．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选C.
6．(2020·咸阳模拟)已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以eq \f(－1,m2)＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.
7．(2020·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．
8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＋b＞0 B．a－b＞0
C．ab＞1 D．eq \f(a,b)＞1
解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，eq \f(a,b)＞1，故选A.
9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0答案：充要
10．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
11．(2020·齐鲁名校调研)给出下列说法：
①“若x＋y＝eq \f(π,2)，则sin x＝cs y”的逆命题是假命题；
②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
以上说法中正确的是________(填序号)．
解析：对于①，“若x＋y＝eq \f(π,2)，则sin x＝cs y”的逆命题是“若sin x＝cs y，则x＋y＝eq \f(π,2)”，当x＝0，y＝eq \f(3π,2)时，有sin x＝cs y成立，但x＋y＝eq \f(3π,2)，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
[综合题组练]
1．(2020·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2020·广东江门模拟)若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是( )
A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1
C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1
解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.
3．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))
解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
4．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．
解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.
答案：[1，＋∞)
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qeq \(⇒,\s\up0(/))p
p是q的必要不充分条件
peq \(⇒,\s\up0(/))q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
peq \(⇒,\s\up0(/))q且qeq \(⇒,\s\up0(/))p