2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第3讲　平面向量的数量积及应用举例学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第3讲　平面向量的数量积及应用举例学案，共20页。学案主要包含了知识梳理，习题改编，平面向量与解三角形的综合应用，平面向量与解析几何的综合应用等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
二、习题改编
1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：选B.a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．
解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )
(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b