2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章　平面向量 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案，共20页。学案主要包含了知识梳理，习题改编，平面向量与三角形的“垂心”问题，平面向量与三角形的“外心”问题等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
常用结论
1．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
2．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
3．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
二、习题改编
1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
解析：选D.由题意得eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up6(→))或eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(P1P2,\s\up6(→))，eq \(P1P2,\s\up6(→))＝(3，－3)．设P(x，y)，则eq \(P1P,\s\up6(→))＝(x－1，y－3)，当eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up6(→))时，(x－1，y－3)＝eq \f(1,3)(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(P1P2,\s\up6(→))时，(x－1，y－3)＝eq \f(2,3)(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.
2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
答案：(1，5)
3．(必修4P119A组T9改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝________．
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，
所以eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)忽视基底中基向量不共线致错；
(2)弄不清单位向量反向的含义出错；
(3)不正确运用平面向量基本定理出错．
1．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
答案：2
2．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))反向的单位向量为________．
解析：由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(12，－5)，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝13，因此与eq \(AB,\s\up6(→))反向的单位向量为－eq \f(1,13)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，\f(5,13))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，\f(5,13)))
3.
如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为________．
解析：因为E为DC的中点，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))，即eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(1,2)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
平面向量基本定理的应用(师生共研)
(1)(一题多解)
如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) B．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
【解析】 (1)
法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，于是eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，故选C.
法二：eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))
＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(CE,\s\up6(→))))
＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))))
＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(NB,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))＋(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→)))＝2eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＋eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(AN,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(8,5)eq \(AN,\s\up6(→))－eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(4,5)，μ＝eq \f(8,5)，所以λ＋μ＝eq \f(4,5).
【答案】 (1)C (2)eq \f(4,5)
eq \a\vs4\al()
平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[提醒] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1．(2020·河北一模)在△ABC中，O为△ABC的重心，若eq \(BO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ－2μ＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－1
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
解析：选D.设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，所以λ－2μ＝－eq \f(4,3)，故选D.
2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)因为eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，
所以r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，
所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
又因为eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋(m＋1)eq \(OA,\s\up6(→))，
依题意eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，
解得m＝－1.
平面向量的坐标运算(多维探究)
角度一 已知向量的坐标进行坐标运算
(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
(2)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则实数λ＋μ的值为________．
【解析】 (1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
(2)因为|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝eq \r(3).因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以(－1，eq \r(3))＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝eq \r(3)，
所以λ＋μ＝eq \r(3)－1.
【答案】 (1)A (2)eq \r(3)－1
角度二 解析法(坐标法)在向量中的应用
(1)向量
a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________．
(2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．
【解析】 (1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(λ,μ)＝4.
(2)
以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为eq \f(2,\r(12＋22))＝eq \f(2,\r(5))，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝eq \f(4,5)，因为P在圆C上，所以P(1＋eq \f(2\r(5),5)cs θ，2＋eq \f(2\r(5),5)sin θ)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))＝(λ，2μ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2\r(5),5)cs θ＝λ，,2＋\f(2\r(5),5)sin θ＝2μ，))λ＋μ＝2＋eq \f(2\r(5),5)cs θ＋eq \f(\r(5),5)sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2.
【答案】 (1)4 (2)3
eq \a\vs4\al()
(1)向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；
②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
(2)向量问题坐标化
当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．
1．已知平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
解析：选D.因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))，所以eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).
2.
给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq \(AB,\s\up8(︵))上运动．若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
解析：
以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
设∠AOC＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，
则C(cs α，sin α)，
由eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以x＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α，y＝eq \f(2\r(3),3)sin α，
所以x＋y＝cs α＋eq \r(3)sin α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，故x＋y的最大值为2.
答案：2
平面向量共线的坐标表示(多维探究)
角度一 利用两向量共线求参数或坐标
(1)(2020·开封模拟)已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________．
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】 (1)由题意，得a＋b＝(1，4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8.
(2)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq \(DC,\s\up6(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2，4)．
【答案】 (1)－8 (2)(2，4)
角度二 利用向量共线求解三点共线问题
已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)．
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解析：2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)法一：因为A，B，C三点共线，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝eq \f(3,2).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→)).所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝eq \f(3,2).
数学建模 平面向量与三角形的“四心”
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则
(1)O为△ABC的外心⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A).
(2)O为△ABC的重心⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→)).
(4)O为△ABC的内心⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
一、平面向量与三角形的“重心”问题
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq \(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
【解析】 取AB的中点D，则2eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq \(OC,\s\up6(→))]，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[2(1－λ)eq \(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq \(OC,\s\up6(→))]
＝eq \f(2（1－λ）,3)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1＋2λ,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
而eq \f(2（1－λ）,3)＋eq \f(1＋2λ,3)＝1，所以P，C，D三点共线，
所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
【答案】 C
二、平面向量与三角形的“内心”问题
在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cs A＝eq \f(1,5)，O是△ABC的内心，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A.eq \f(10\r(6),3) B．eq \f(14\r(6),3)
C．4eq \r(3) D．6eq \r(2)
【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)r，解得r＝eq \f(2\r(6),3)，
所以S△BOC＝eq \f(1,2)×a×r＝eq \f(1,2)×7×eq \f(2\r(6),3)＝eq \f(7\r(6),3).
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝eq \f(14\r(6),3).
【答案】 B
三、平面向量与三角形的“垂心”问题
已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【解析】 因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝λ(－|eq \(BC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)＝0，
所以eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
【答案】 B
四、平面向量与三角形的“外心”问题
已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq \r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则有序实数对(x，y)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))
【解析】 取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则eq \(OM,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，
eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－(xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))eq \(AB,\s\up6(→))－yeq \(AC,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－(xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－y))eq \(AC,\s\up6(→))－xeq \(AB,\s\up6(→)).
由eq \(OM,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))eq \(AB,\s\up6(→))2－yeq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，①
由eq \(ON,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－y))eq \(AC,\s\up6(→))2－xeq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，②
又因为eq \(BC,\s\up6(→))2＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2－2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB2,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))2＋\(AB,\s\up6(→))2－\(BC,\s\up6(→))2,2)＝－eq \f(1,2)，③
把③代入①，②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2x＋y＝0，,4＋x－8y＝0，))解得x＝eq \f(4,5)，y＝eq \f(3,5).
故实数对(x，y)为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5))).
【答案】 A
[基础题组练]
1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4 C．－3 D．－1
解析：选D.因为a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝eq \f(1,2)b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.
2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)
解析：选D.因为向量b与向量a方向相反，所以可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ