2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第7讲　解三角形的综合应用学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第7讲　解三角形的综合应用学案，共20页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
常用结论
测量中的几种常见问题
二、习题改编
1．(必修5P11例1改编)
如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.
解析：由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin B)，又因为∠B＝30°，
所以AB＝eq \f(AC·sin∠ACB,sin B)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．
答案：50eq \r(2)
2．(必修5P13例3改编)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．
解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
所以eq \f(a,sin 30°)＝eq \f(PB,sin 15°)，所以PB＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)a，
所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)a×sin 60°＋asin 15°＝eq \f(\r(2),2)a.
答案：eq \f(\r(2),2)a
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，eq \f(π,2))．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)方向角与方位角概念不清；
(2)仰角、俯角概念不清；
(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．
1.
如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为( )
A．北偏西5° B．北偏西10°
C．北偏西15° D．北偏西20°
解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.
2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________
答案：130°
3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.
解析：由题意画示意图，如图，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3)(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝eq \r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq \r(300)＝10eq \r(3)(m)．
答案：10eq \r(3)
求距离、高度问题(师生共研)
(1)(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上
已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
(2)(2020·吉林长春质量监测(四))
《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为______步．(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)
【解析】 (1)由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5).
故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5).
(2)因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，
所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH).
因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq \f(DG,HG)＝eq \f(DE,AH).
又BC＝DE，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG)，
即eq \f(123,123＋HB)＝eq \f(127,127＋1 000＋HB)，所以HB＝30 750步，
又eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH)，所以AH＝eq \f(5×（30 750＋123）,123)＝1 255(步)．
【答案】 (1)80eq \r(5) (2)1 255
eq \a\vs4\al()
求距离、角度问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可以用，就选择更便于计算的定理．
1.
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq \r(3) m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.
解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
答案：900
2．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.
解析：
如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.
在△BCD中，由正弦定理得，
BC＝eq \f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(40·sin 60°,sin 45°)＝20eq \r(6).
所以EF＝20eq \r(6)，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20eq \r(6)×eq \f(\r(3),3)＝20eq \r(2)，
所以AB＝AF＋BF＝20eq \r(2)＋1(m)．
答案：20eq \r(2)＋1
测量角度问题(师生共研)
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
【解】
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcs 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得eq \f(BC,sin α)＝eq \f(AC,sin 120°)，
解得sin α＝eq \f(20sin 120°,28)＝eq \f(5\r(3),14).
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq \f(5\r(3),14).
eq \a\vs4\al()
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：sin 38°≈\f(5\r(3),14)，sin 22°≈\f(3\r(3),14)))
解：如图，设
缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
求解几何计算问题(师生共研)
(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0