2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第4讲　三角函数的图象与性质学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第4讲　三角函数的图象与性质学案，共24页。学案主要包含了知识梳理，习题改编，利用三角函数的最值求解等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)．
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．
二、习题改编
1．(必修4P46A组T2(3)改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则T＝________，A＝________．
解析：最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，最大值A＝2－1＝1.
答案：π 1
2．(必修4P40练习T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)．
①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；
②在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))及eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数；
③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；
④在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))及eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是减函数．
解析：函数y＝4sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增．
答案：②
3．(必修4P45练习T3改编)y＝tan 2x的定义域是________．
解析：由2x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( )
(2)余弦函数y＝cs x的对称轴是y轴．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin |x|是偶函数．( )
(6)若sin x>eq \f(\r(2),2)，则x>eq \f(π,4).( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acs x)中A对函数单调性的影响；
(2)忽视定义域的限制；
(3)忽视正切函数的周期；
(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．
1．函数y＝1－2cs x的单调递减区间为________．
解析：函数y＝1－2cs x的单调递减区间为函数y＝cs x的递增区间．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
2．函数f(x)＝3sin(2x－eq \f(π,6))在区间[0，eq \f(π,2)]上的值域为________．
解析：当x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x－eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，eq \f(5π,6)]，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈[－eq \f(1,2)，1]，
故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈[－eq \f(3,2)，3]，
所以函数f(x)在区间[0，eq \f(π,2)]上的值域是[－eq \f(3,2)，3]．
答案：[－eq \f(3,2)，3]
3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))图象的对称中心是________．
解析：由x＋eq \f(π,4)＝eq \f(k,2)π，得x＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,4)，k∈Z.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,4)，0))(k∈Z)
4．cs 23°，sin 68°，cs 97°的大小关系是________．
解析：sin 68°＝cs 22°，
又y＝cs x在[0°，180°]上是减函数，
所以sin 68°>cs 23°>cs 97°.
答案：sin 68°>cs 23°>cs 97°
三角函数的定义域(自主练透)
1．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)))（k∈Z）))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)))（k∈Z）))
解析：选D.由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)．
2．函数y＝lg sin x＋eq \r(cs x －\f(1,2))的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x>0，,cs x－\f(1,2)≥0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x>0，,cs x≥\f(1,2)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2kπ