2023届高考一轮复习讲义（理科）选修4－4　坐标系与参数方程 第1讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）选修4－4　坐标系与参数方程 第1讲　高效演练分层突破学案，共6页。
(1)求曲线C1的极坐标方程；
(2)已知点M(2，0)，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．
解：(1)C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs t，,y＝1＋sin t，))
其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，化为极坐标方程为C1：ρ＝2sin θ.
(2)联立C1与l的极坐标方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ＝2sin θ，,θ＝\f(π,6)，))解得P点极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,6)))，
联立C2与l的极坐标方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ρcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝3\r(3)，,θ＝\f(π,6)，))解得Q点极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，所以PQ＝2，又点M到直线l的距离d＝2sin eq \f(π,6)＝1，
故△MPQ的面积S＝eq \f(1,2)PQ·d＝1.
2．(2020·广东省潮州市第二次模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，曲线C2：eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；
(2)射线OT：θ＝eq \f(π,6)(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|的大小．
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs α,y＝sin α))得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ＝0，即ρ＝2cs θ；
由eq \f(x2,3)＋y2＝1得C2的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2 θ,3)＋ρ2sin2 θ＝1.
(2)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ＝2cs θ,θ＝\f(π,6)))得|OA|＝ρ1＝2cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(ρ2cs2 θ,3)＋ρ2sin2 θ＝1，,θ＝\f(π,6)))得|OB|＝ρ2＝eq \r(2)，
所以|AB|＝eq \r(3)－eq \r(2).
3．平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cs θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋tcs α，,y＝－4＋tsin α))(t为参数)，
ρsin2θ＝2cs θ，即ρ2sin2θ＝2ρcs θ，将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入曲线C得直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x得
t2sin2α－(2cs α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得t1t2＝eq \f(20,sin2α)，
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝eq \f(20,sin2α)＝40，得α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3π,4).
又Δ＝(2cs α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝eq \f(π,4).
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs φ，,y＝sin φ))(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0