吉林省长春市实验中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份吉林省长春市实验中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了已知是虚数单位，则，若向量，，且，则实数的值为等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题（60分）
1．已知是虚数单位，则（ ）
A．－1 B．－ C．1 D．
2．若向量，，且，则实数的值为（ ）
A．－ B． C．2 D．6
3．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．频率分布直方图中的值为0.004
B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为160
4．设α，β是两个不重合的平面，是空间中两条不重合的直线，下列命题错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量(单位：kg)分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．，，…，的平均数 B．，，…，的标准差
C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位数
6．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D.
7．随着高中新课程改革的不断深入，数学试题的命题形式正在发生着变化.某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题.每道多项选择题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 一同学解答一道多选题时，随机选了两个选项，若答案恰为两个选项，则该同学做对此题的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．唐狩猎纹高足银杯如图1，1963年出土于陕西省西安市沙坡村容藏，为唐代的酒具.它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示已知半球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分圆柱的体积为，下部分半球的体积为，则 （ ）

图1 图2
A．2 B． C．1 D．
9．设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为，，，满足，且，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
11．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被熔断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A． B． C． D．
12．如图，在棱长为1的正方体中，P为正方形内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
13．在中，点D在直线AC上，且，点E在直线BD上，且，若，则__________．
14.三棱锥中，平面ABC，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
15.如图，二面角为60°，，，，，，，则直线与平面所成的角为__________．
16. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为，，，且，.则下列结论正确的序号是_____．
（1）面积的最大值为 （2）的最大值为
（3） （4） 的取值范围
17．已知向量与的夹角，且，．
（1）求及在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
18．在平行六面体中，,．
求证：
（1）；
（2）.
19．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
（2）用比例分配的分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
20．如图，在中，点在边上，，，．
（1）求边的长；
（2）若的面积是，求的值．
21．随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？

22.如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点．
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值.
长春市实验中学
2020-2021学年下学期期末考试
高一数学试卷答案
第Ⅰ卷 选择题
1—5 DDBDB 6—10 CAADD 11—12 DB
第Ⅱ卷 非选择题
13. 14. 15. 16. （1）（2）
17.【答案】(1) ；在上的投影向量为： ; (2)
【详解】（1），所以
在上的投影向量为：
（2）
设向量与夹角为，则
18.证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
19.【解析】（1）苹果的重量在的频率为；
（2）重量在的有（个）；
（3）设这个苹果中重量在的有个，记为；重量在的有个，分别记为；
从中任取两个，可能的情况有：共6种，
设任取个，重量在和中各有个的事件为，则事件包含有共3种，
所以.
20.【解析】（1）在中，设，则由余弦定理得：
即：，解之得：
即边的长为2
（2）由（Ⅰ）得为等边三角形，作于，则，
∴，故 ，，
∴在中，由余弦定理得：
∴在中由正弦定理得：
，∴，∴
【答案】（1）210分钟，215分钟；，；（2）①15元；②64元
【详解】（1）（分钟），
（分钟），
，
；
（2）①按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
②由（1）知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），
小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，
∵一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，
一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，
∴小区一月需要专职工作人员至少（名），
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
22.【答案】（1）略；（2）；（3）．
分组(重量)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
5
10
20
15
住户编号
A小区（分钟）
B小区（分钟）