33.高中数学（新人教A版）直线与直线平行课件PPT

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高一年级 数学直线与直线平行 在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理．类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容．从本节课起我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质．1.平面几何中判断两条直线平行的方法（1）定义：平面内，不相交的两条直线叫做平行线．（2）判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．（3）三角形、梯形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．知识复习1.平面几何中判断两条直线平行的方法（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形性质：如果一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么它们的对边平行且相等．（5）平行的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行．（6）垂直于同一条直线的两条直线平行等．知识复习2.空间三种平行关系的定义知识复习3.基本事实基本事实1　过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．“不共线的三点确定一个平面”基本事实2　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3　如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．知识复习3.基本事实　　利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，得到下面三个推论：推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识复习 我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行．在空间中，是否也有类似的结论？如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中， DC//AB，A′B′//AB．DC与A′B′平行吗？观察：解析：通过观察不难发现两直线平行．观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？解析：可以看到我们所在的教室黑板边所在直线AA′和门框所在直线CC′都平行于墙与墙的交线BB′，那么CC′//AA′． 身边的实例abcl基本事实4： 平行于同一条直线的两条直线平行． 基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据．基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性． 例题 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等．而EH，FG分别是∆ABD和∆CBD的中位线，从而它们都与BD平行且等于BD的一半．应用基本事实4，即可得出证明． 例题 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连接BD．∵ EH是ΔABD的中位线， ∴ EH//BD，且EH= BD． 同理 FG//BD，且FG= BD． ∴ EH//FG， 且EH=FG． ∴ 四边形EFGH为平行四边形．追问：在本例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？解析：连接AC，同理可证EF=HG= AC． 再由AC=BD，可知EF=FG=GH=HE．因此四边形EFGH是菱形．思考： 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？思考： 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？分析：对于图中第一种情况，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B′A′C′是它们的对应角，从而证明∠BAC=∠B′A′C′． 证明：如图，分别在∠BAC和∠B′A′C′ 的两边上截取AD，AE和A′D′，A′E′，使得AD=A′D′，AE=A′E′． 　连接AA′，DD′，EE′，DE，D′E′． ∵ AD//A′D′，且AD=A′D′． ∴ 四边形ADD′A′是平行四边形． ∴ AA′//DD′，且AA′=DD′． 同理可证 AA′//EE′，且AA′=EE′． ∴ DD′//EE′，且DD′=EE′． ∴ 四边形DD′E′E是平行四边形． ∴ DE=D′E′． ∴ ΔADE ΔA′D′E′． ∴ ∠BAC=∠B′A′C′．≌ 对于图中的第二种情形，将两个角中一个角的方向相反的一条边反向延长，就可以转化为第一种情况，再利用邻补角的性质，即可得到在第二种情况下，这两个角互补．请同学们自己给出证明． 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 由此可以看出，平面中的等角定理推广到空间依然成立，为我们证明空间中两角相等提供了理论依据．定理：1.如果OA//O′A′ ， OB//O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ ；若∠AOB =30°，则∠A′O′B′= ；2.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α= 45°，则β= ；3.“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”是“两个角相等”的 条件． 例题 填空：相等或互补30°或 150°135°既不充分也不必要例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：（1）四边形MNA1C1是梯形；　（2）∠DNM =∠D1A1C1．例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：（1）四边形MNA1C1是梯形；正方体及中点分析：梯形判定定理（1）求证：四边形MNA1C1是梯形；证明：连接AC． ∵ AA1//CC1且AA1=CC1，∴ 四边形AA1C1C是平行四边形．∴ AC//A1C1且AC=A1C1．又 M，N 是棱CD，AD的中点，∴ MN//AC，且MN= AC．∴ MN//A1C1 ，且MN= A1C1．∴ 四边形MNA1C1是梯形．例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：正方体及中点分析：角等等角定理（2）∠DNM =∠D1A1C1．例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：证明：由（1）知 MN//A1C1．∵ ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴ DN//D1A1．∵ ∠DNM与∠D1A1C1方向相同，∴ ∠DNM =∠D1A1C1． （2）∠DNM =∠D1A1C1． 在本节中，对于平面内直线平行的传递性及等角定理，推广到空间中，这些性质依然成立．那么是不是对于平面中的几何性质，推广到空间中都成立呢？1.垂直于同一条直线的两条直线平行；2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行；3.四边都相等的四边形是菱形；4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．判断下列命题的真假：1.垂直于同一条直线的两条直线平行；解析：假命题判断下列命题的真假：反例2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行；解析：真命题判断下列命题的真假：3.四边都相等的四边形是菱形；解析：假命题判断下列命题的真假：反例4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．解析：真命题分析：假设过l 外的点O可以作两条直线a，b分别与l平行，那么，由基本事实4可知， a与b平行．而这与a，b相交于点O矛盾．所以假设不成立，原命题成立．判断下列命题的真假：1.垂直于同一条直线的两条直线平行；假命题2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行；真命题3.四边都相等的四边形是菱形；假命题4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．真命题判断下列命题的真假： 通过以上分析，我们知道，并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间．这提醒我们对于平面图形中存在的性质，在推广到空间中，能否成立，要经过证明，不能直接使用．1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？解析：根据基本事实4，这些折痕互相平行．练习2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？解析：3条，分别是BB′，CC′，DD′． 3.如图，AA′，BB′，CC′不共面，AA′//BB′，且AA′=BB′． BB′//CC′，且BB′=CC′．求证： ΔABC ΔA′B′C′． ≌分析：三角形全等判定定理多组线段平行且相等证明： ∵ AA′//BB′，且AA′=BB′．BB′//CC′，且BB′=CC′．∴ AA′//CC′ ，且AA′=CC′．∴ 四边形ABB′A′，BCC′B′， ACC′A′是平行四边形．∴ AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′． ∴ ΔABC ΔA′B′C′．≌4.如图，在四面体A-BCD中，E，F，G分别为AB， AC，AD上的点．若EF//BC，FG//CD，则ΔEFG和ΔBCD有什么关系？为什么？分析：相似(猜想)判定定理比例、等角线线平行解：相似．证明如下： ∵ EF//BC，FG//CD， ∴ ． 又 ∠EFG和∠BCD的两边分别 平行并且方向相同， ∴ ∠EFG=∠BCD． ∴ △EFG∽△BCD． 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， AE=A1E1， AF=A1F1．求证：EF//E1F1，且EF=E1F1 ． 分析：线段平行相等平行四边形线线平行相等线段等、正方体证明：连接EE1， FF1．∵ A E//A1E1，且AE=A1E1 ， A F//A1F1，且AF=A1F1 ．∴ 四边形AEE1A1， AFF1A1是平行四边形．∴ AA1//EE1，且AA1=EE1，AA1//FF1，且AA1=FF1 ．证明：∴ EE1//FF1，且EE1=FF1 ．∴ 四边形EFF1E1是平行四边形．∴ EF//E1F1 ，且EF=E1F1 ．6.如图，E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．分析：两角相等等角定理线线平行中点、长方体6.如图，E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．证明：连接EE1．∵ E、E1分别是AB、A1B1的中点，∴ BE//B1E1，且BE=B1E1 ．∴ 四边形BEE1B1是平行四边形．∴ EE1//BB1，且EE1=BB1．又 CC1//BB1，且CC1=BB1，6.如图，E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．∴ CC1//EE1，且CC1=EE1 ．∴ 四边形ECC1E1是平行四边形．∴EC//E1C1．由图可知∠BEC和∠B1E1C1方向相同，∴ ∠BEC=∠B1E1C1．小结平面内线线平行空间线线平行等角定理面面平行生活实例线面平行直观感知操作确认应用类比推证1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，面A1C1内有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？作业2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是 AB，BC的中点．求证： EF//A′C′．