5.高中数学（新人教A版）向量的数乘运算的应用课件PPT

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高一年级 数学向量的数乘运算的应用 它的长度与方向规定如下： 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，(1) | λa | ＝ | λ | | a | ；(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.记作 λa ，这种运算叫做向量的数乘，特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.复习引入探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反；探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定零向量与任意向量平行. 平行向量也叫共线向量.若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.结论： b = λa b // a .探究1若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.结论： b = λa b // a .aλa探究1若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，若 | b| ＝ μ | a | ，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，若 | b| ＝ μ | a | ，当a与b同向时， b= μ a， 若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，若 | b| ＝ μ | a | ，当a与b同向时， b= μ a， 当a与b反向时， b= -μ a， 若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，若 | b| ＝ μ | a | ，当a与b同向时， b= μ a， 当a与b反向时， b= -μ a， 存在唯一一个实数λ，使得b=λa.若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，使得0=λa，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，使得0=λa，取λ=0即可.若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，使得0=λa，取λ=0即可.存在唯一一个实数λ，使得b=λa.若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，λa=0，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，λa=0，不存在这样的实数λ，使得b=λa.若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0， b=0时，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，λa=0存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0， b=0时，若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.(3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.(4)当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2当a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.当a=0， b≠0时，不存在实数λ，使得b=λa.当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？探究2当a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.当a=0， b≠0时，不存在实数λ，使得b=λa.当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.b//a ( a ≠ 0 ) b//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得( a ≠ 0 ) ？ b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在 实数λ，使得 b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在 实数λ，使得若a=0， b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在 实数λ，使得若a=0，则b=λa=0， b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在 实数λ，使得若a=0，此时，λ可以取任意实数.则b=λa=0， b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在 实数λ，使得若a=0，此时，λ可以取任意实数.则b=λa=0，λ不唯一 b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得 b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得( a ≠ 0 ) b // a b = λab//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa存在唯一一个实数λ，使得( a ≠ 0 ) b//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：分析：(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：当b=0时，分析：(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：当b=0时，λb=0.分析：(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：当b=0时，λb=0.而a≠0，分析：(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：当b=0时，λb=0.而a≠0，故不存在这样的实数λ.分析：(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )判断：当b=0时，λb=0.而a≠0，故不存在这样的实数λ.分析：(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； ( )判断：(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； ( )判断：证明：先证必要性 (2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性 当a=b=0时，(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. (2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，不妨设a≠0， (2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，不妨设a≠0， 所以，存在唯一实数k，使得b=ka， (2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：证明：先证必要性 当a=b=0时，取λ=μ=1，此时结论成立. 当a，b不全为0时，不妨设a≠0， 所以，存在唯一实数k，使得b=ka， 取λ=k，μ=1，此时结论成立.(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb；判断：再证充分性再证充分性不妨设λ≠0，再证充分性则a= b，不妨设λ≠0，再证充分性则a= b，此时结论成立.不妨设λ≠0，所以a//b.再证充分性则a= b，此时结论成立.则原命题成立.不妨设λ≠0，所以a//b.(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：分析1:因为 λa与a共线， μb与b 共线，(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：分析1:因为 λa与a共线， μb与b 共线，而a与b不共线，且λa=μb，(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：分析1:因为 λa与a共线， μb与b 共线，而a与b不共线，且λa=μb，所以λa=μb=0.(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：分析1:因为 λa与a共线， μb与b 共线，而a与b不共线，且λa=μb，所以λa=μb=0.因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0.(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0. ( )判断：分析1:因为 λa与a共线， μb与b 共线，而a与b不共线，且λa=μb，所以λa=μb=0.因为a与b不共线，所以a≠0且b≠0.所以λ=μ=0.分析2:假设λ和μ不全为0，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a= b，因为λa=μb，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a= b，所以a//b.因为λa=μb，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a= b，所以a//b.因为λa=μb，与已知条件矛盾，不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，则a= b，所以a//b.因为λa=μb，与已知条件矛盾，所以λ=μ=0.不妨设λ≠0，分析2:假设λ和μ不全为0，应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线证明向量共线应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线证明向量共线例如：应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线证明向量共线例如：应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线证明向量共线例如：应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线证明两直线平行应用1存在实数λ，使b=λa 向量a与b共线证明两直线平行证明三点共线应用1证明两直线平行证明两直线平行证明两直线平行证明两直线平行直线AB与CD不重合证明三点共线证明三点共线证明三点共线证明三点共线(有公共点)证明三点共线(有公共点)证明三点共线(有公共点)OOAOABOABOABCOABCO猜想：A，B，C三点共线.ABCO分析：猜想：A，B，C三点共线.ABCO猜想：A，B，C三点共线.ABCO分析：只需证 ，分析：只需证 ，猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使证明：猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使分析：只需证 ，证明：猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使分析：只需证 ，证明：猜想：A，B，C三点共线.ABCO只需证：存在λ，使分析：只需证 ，证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，ABCO证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，ABCO证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，ABCO证明：猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，，ABCO证明：∴猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，，证明：∴∴猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，，证明：∴ A，B，C三点共线.∴∴猜想：A，B，C三点共线.只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，，证明：∴ A，B，C三点共线.∴∴猜想：A，B，C三点共线.发展直观想象只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，，证明：∴ A，B，C三点共线.∴∴猜想：A，B，C三点共线.向量法发展直观想象只需证：存在λ，使分析：只需证 ，，，应用2 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ . 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .分析： 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .分析： 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.设为λa (λ > 0) ，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .分析： 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.其模为|λa| ，即 λ | a| .设为λa (λ > 0) ，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .分析：令λ| a| =1， 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.其模为|λa| ，即 λ | a| .设为λa (λ > 0) ，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .分析：令λ| a| =1，则 . 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.其模为|λa| ，即 λ | a| .设为λa (λ > 0) ，应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ . 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .与非零向量a共线的单位向量为_____. 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.应用2与非零向量a同向的单位向量为_______ .与非零向量a共线的单位向量为_____. 向量a(a≠0)与b共线 存在唯一一个实数λ，使b=λa.由向量b－ta与 共线，分析：由向量b－ta与 共线，b－ta=分析：可设由向量b－ta与 共线，b－ta=分析：可设？由向量b－ta与 共线，b－ta=分析：可设定理：b//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa？由向量b－ta与 共线，b－ta=由于 a，b不共线，分析：可设定理：b//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa？0．由向量b－ta与 共线，b－ta=由于 a，b不共线，分析：可设定理：b//a ( a ≠ 0 ) 存在唯一一个实数λ，使得b=λa所以？解：0.∴∵ a，b不共线，解：0.∵b－ta与 共线，∴∵ a，b不共线，解：0.∵b－ta与 共线，∴∴唯一 ，使得Rb－ta=∵ a，b不共线，解：0.∵b－ta与 共线，∴∴唯一 ，使得Rb－ta=∵ a，b不共线，∴解：∵ a，b不共线，0.∵b－ta与 共线，∴∴唯一 ，使得Rb－ta=∵ a，b不共线，∴解：∵ a，b不共线，0.∵b－ta与 共线，∴∴唯一 ，使得Rb－ta=∵ a，b不共线，∴∴解：否则，不妨设否则，不妨设则a = b，否则，不妨设则a = b，∴ a // b .否则，不妨设则a = b，∴ a // b .与已知矛盾.否则，不妨设则a = b，∴ a // b .与已知矛盾.∴ 否则，不妨设则a = b，∴ a // b .与已知矛盾.解得 t = ∴ 否则，不妨设则a = b，∴ a // b .与已知矛盾.∴ 解得 t = 转化思想否则，不妨设则a = b，∴ a // b .与已知矛盾.∴ 解得 t = 转化思想方程（组）思想小结：小结：定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： 存在唯一一个实数λ，使b=λa.小结：定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： 存在唯一一个实数λ，使b=λa.定理的应用：小结：定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： 存在唯一一个实数λ，使b=λa.定理的应用：1. 运用定理，证明向量共线，两直线平行， 三点共线等类型的问题；小结：1. 运用定理，证明向量共线，两直线平行， 三点共线等类型的问题；定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： 存在唯一一个实数λ，使b=λa.2. 运用定理，转化命题.定理的应用：小结：定理的应用定理小结：定理的应用定理向量的数乘运算的应用小结：定理的应用定理向量的数乘运算的应用体现了数学逻辑的严谨性小结：定理的应用定理向量的数乘运算的应用体现了数学逻辑的严谨性向量在解决几何问题中的工具性小结：定理的应用定理向量的数乘运算的应用体现了数学逻辑的严谨性向量在解决几何问题中的工具性直观想象数学抽象逻辑推理提升了作业：1．已知a，b是不共线的向量，且 ， ， ，则( )．(A) A，B，D三点共线(B) A，B，C三点共线(C) B，C，D三点共线(D) A，C，D三点共线作业：2．已知若 ， 是不共线的向量，且 ， ，若a与b是共线向量，求实数k的值．请批评指正！谢谢！