人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教课课件ppt

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| 自 学 导 引 |
对于在区间[a，b]上图象连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)·f(b)<0　
【预习自测】二分法求函数的零点的近似值适合于(　　)A．零点两侧函数值异号B．零点两侧函数值同号C．都适合D．都不适合【答案】A【解析】由函数零点的存在定理可知选A．
【答案】f(a)·f(b)<0　f(c)＝0　f(c)·f(b)<0　a＝c
二分法求函数零点近似值的步骤
【预习自测】用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在区间(1，2)内的实数根，第一步取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝________．【答案】1.25
| 课 堂 互 动 |
(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)A　　　　　B　　　　　C　　　　　D(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．【答案】(1)B　(2)(1，2)
题型1　二分法概念的理解
【解析】(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．
运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右的函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
1．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x|D．f(x)＝ln x【答案】C【解析】f(x)＝|x|≥0，函数图象上不存在两侧函数值符号相异的点．故选C．
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01)．素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．解：经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5)．如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
题型2　用二分法求函数的零点
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度不大于精确度，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1)．解：因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又因为f(x)在(1，2)内单调递增，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1，2)上有唯一一个实数解，设该解为x0，则x0∈(1，2)，下面用二分法求解.
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．素养点睛：考查逻辑推理和数学运算的核心素养．解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．
题型3　用二分法求方程的近似解
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)方法：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．
3．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．
若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值(　　)A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定错解：由函数零点存在定理知f(－2)·f(2)＜0，故选B．
易错警示　函数零点存在定理使用不当
易错防范：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(－2)·f(2)＜0，否则f(－2)·f(2)≥0.防范措施是正确理解“零点存在定理”，即如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点．函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力．正解：f(x)可能在端点处取得零点，即f(－2)·f(2)可以等于0；f(x)＝x2在x＝0处取得零点，但f(－2)·f(2)＞0；f(x)＝x在x＝0处取得零点，但f(－2)·f(2)＜0.故选D．
| 素 养 达 成 |
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(体现了逻辑推理的核心素养)．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足下面个条件，方可采用二分法求得零点的近似值．(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.
1．(题型1)下列函数中能用二分法求零点的是(　　)A　　　　　 B 　　　　　C　　　　　D　【答案】C
【解析】在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．在B中，函数无零点．在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点．
2．(题型2)某同学用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中，设f(x)＝3x＋3x－8，且计算f(1)＜0，f(2)＞0，f(1.5)＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为(　　)A．f(0.5)B．f(1.125)C．f(1.25)D．f(1.75)【答案】C
3．(题型1)(2020年遵义高一期中)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实数根，下一个有根区间是(　　)A．[2，2.5]B．[2.5，3]C．[2，2.25]D．[2.75，3]【答案】A【解析】令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(2.5)＝5.625＞0，f(2)f(2.5)＜0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，2.5]．故选A．
4．(题型2)某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.【答案】5
5．(题型3)判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由．解：方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，理由如下：设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0，又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立，故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0.所以方程3x－x2＝0在区间[1，2]内没有实数解．