高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试同步达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若tanα＝3，tanβ＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( D )
A．－3B．－eq \f(1,3)
C．3D．eq \f(1,3)
[解析] tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).
2．cs275°＋cs215°＋cs75°·cs15°的值是( A )
A．eq \f(5,4)B．eq \f(\r(6),2)
C．eq \f(3,2)D．1＋eq \f(\r(2),3)
[解析] 原式＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs15°＝1＋eq \f(1,2)sin30°＝eq \f(5,4).
3．(2018·全国卷Ⅲ文，4)若sinα＝eq \f(1,3)，则cs2α＝( B )
A．eq \f(8,9)B．eq \f(7,9)
C．－eq \f(7,9)D．－eq \f(8,9)
[解析] ∵ sinα＝eq \f(1,3)，∴ cs2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \f(1,3)2＝eq \f(7,9).
故选B．
4．已知点P(csα，sinα)，Q(csβ，sinβ)，则|eq \(PQ,\s\up6(→))|的最大值是( B )
A．eq \r(2)B．2
C．4D．eq \f(\r(2),2)
[解析] eq \(PQ,\s\up6(→))＝(csβ－csα，sinβ－sinα)，
则|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝eq \r(csβ－csα2＋sinβ－sinα2)
＝eq \r(2－2csα－β)，故|eq \(PQ,\s\up6(→))|的最大值为2.
5.eq \f(sin235°－\f(1,2),sin20°)＝( B )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．－1D．1
[解析] 原式＝eq \f(\f(1－cs70°,2)－\f(1,2),sin20°)＝eq \f(－\f(1,2)cs70°,sin20°)＝－eq \f(1,2).
6．已知sin(eq \f(5,12)π－θ)＝eq \f(1,4)，则cs(eq \f(π,6)＋2θ)＝( A )
A．－eq \f(7,8)B．－eq \f(15,16)
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(7,8)
[解析] 由sin(eq \f(5π,12)－θ)＝cs[eq \f(π,2)－(eq \f(5π,12)－θ)]
＝cs(eq \f(π,12)＋θ)＝eq \f(1,4).
所以cs(eq \f(π,6)＋2θ)＝2cs2(eq \f(π,12)＋θ)－1＝eq \f(1,8)－1＝－eq \f(7,8).
7．已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)(eq \f(tanα,tanβ))2等于( C )
A．2B．3
C．4D．5
[解析] 由sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinαcsβ＋csαsinβ＝\f(1,2),sinαcsβ－csαsinβ＝\f(1,3)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinαcsβ＝\f(5,12),csαsinβ＝\f(1,12)))，
∴eq \f(tanα,tanβ)＝5，
∴lgeq \r(5)(eq \f(tanα,tanβ))2＝lgeq \r(5)52＝4.
8．若eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(1,2)，则tan2α＝( B )
A．－eq \f(3,4)B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(4,3)D．eq \f(4,3)
[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(1,2)得eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝eq \f(1,2)即2tanα＋2＝tanα－1，
∴tanα＝－3，∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×－3,1－－32)＝eq \f(－6,－8)＝eq \f(3,4)，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．
9．y＝sin(2x－eq \f(π,3))－sin2x的一个单调递增区间是( B )
A．[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]B．[eq \f(π,12)，eq \f(7,12)π]
C．[eq \f(5,12)π，eq \f(13,12)π]D．[eq \f(π,3)，eq \f(5π,6)]
[解析] y＝sin(2x－eq \f(π,3))－sin2x＝sin2xcseq \f(π,3)－cs2xsineq \f(π,3)－sin2x＝－(sin2xcseq \f(π,3)＋cs2xsineq \f(π,3))＝－sin(2x＋eq \f(π,3))，其增区间是函数y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的减区间，即2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，∴kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，当k＝0时，x∈[eq \f(π,12)，eq \f(7π,12)]．
10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( D )
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
[解析] 由已知tanA＋tanB＝eq \f(5,3)，tanA·tanB＝eq \f(1,3)，tan(A＋B)＝－tanC＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq \f(\f(5,3),1－\f(1,3))＝eq \f(5,2)，所以tanC＝－eq \f(5,2)<0.故△ABC为钝角三角形．
11．将函数f(x)＝eq \f(1,2)sin2xsineq \f(π,3)＋cs2xcseq \f(π,3)－eq \f(1,2)sin(eq \f(π,2)＋eq \f(π,3))的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，eq \f(π,4)]上的最大值和最小值分别为( C )
A．eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)B．eq \f(1,4)，－eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)D．eq \f(1,4)，eq \f(1,2)
[解析] f(x)＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x－eq \f(1,2)sineq \f(5π,6)＝eq \f(\r(3),4)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x－eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4)sin2x＋eq \f(1,2)×eq \f(1＋cs2x,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))，
所以g(x)＝eq \f(1,2)sin(4x＋eq \f(π,6))．因为x∈[0，eq \f(π,4)]，所以4x＋eq \f(π,6)∈[eq \f(π,6)，eq \f(7π,6)]，所以当4x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,12)时，g(x)取得最大值eq \f(1,2)；当4x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,4)时，g(x)取得最小值－eq \f(1,4).
12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cs2(eq \f(π,4)－eq \f(B,2))＋cs2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( D )
A．m<1B．m>－3
C．m<3D．m>1
[解析] f(B)＝4sinBcs2(eq \f(π,4)－eq \f(B,2))＋cs2B
＝4sinBeq \f(1＋cs\f(π,2)－B,2)＋cs2B
＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)
＝2sinB＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立．
∵0∴－1<2sinB－1≤1，故m>1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．化简eq \f(2tan45°－α,1－tan245°－α)·eq \f(sinαcsα,cs2α－sin2α)＝__eq \f(1,2)__.
[解析] 原式＝tan(90°－2α)·eq \f(\f(1,2)sin2α,cs2α)＝eq \f(1,tan2α)·eq \f(1,2)tan2α＝eq \f(1,2).
14．已知α∈(eq \f(π,2)，π)，且sinα＝eq \f(3,5)，则sin2eq \f(α,2)＋eq \f(sin4αcs2α,1＋cs4α)的值为__－eq \f(3,50)__.
[解析] csα＝－eq \f(4,5)，原式＝eq \f(1－csx,2)＋eq \f(2sin2α·cs22α,2cs22α)＝eq \f(1－csα,2)＋sin2α＝－eq \f(3,50).
15．若函数f(x)＝sin2x＋cs2x，且函数y＝f(x＋eq \f(φ,2))(0<φ<π)是一个偶函数，则φ的值等于__eq \f(π,4)__.
[解析] f(x)＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，f(x＋eq \f(φ,2))＝eq \r(2)sin(2x＋φ＋eq \f(π,4))是一个偶函数，所以可以令φ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，此时f(x＋eq \f(φ,2))＝eq \r(2)cs2x为偶函数，解得φ＝eq \f(π,4).
16．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为__π__.
[解析] ∵tanB＝2，tanC＝3，
∴tan(B＋C)＝eq \f(tanB＋tanC,1－tanB·tanC)＝eq \f(2＋3,1－2×3)＝－1.
又B、C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)，
∴B＋C＝eq \f(3,4)π，又tanA＝1，A为锐角，∴A＝eq \f(π,4)，
∴A＋B＋C＝π.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知函数f(x)＝eq \f(sinx－csxsin2x,sinx).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝eq \f(sinx－csxsin2x,sinx)
＝2csx(sinx－csx)＝sin2x－cs2x－1
＝eq \r(2)sin(2x－eq \f(π,4))－1，∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,8)，kπ)或(kπ，kπ＋eq \f(3π,8)]k∈Z.
18．(本题满分12分)已知csα－sinα＝eq \f(3,5)eq \r(2)，且π<α[解析] 因为csα－sinα＝eq \f(3\r(2),5)，所以1－2sinαcsα＝eq \f(18,25)，所以2sinαcsα＝eq \f(7,25).
又α∈(π，eq \f(3π,2))，故sinα＋csα＝－eq \r(1＋2sinαcsα)
＝－eq \f(4\r(2),5)，
所以eq \f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq \f(2sinαcsα＋2sin2αcsα,csα－sinα)
＝eq \f(2sinαcsαcsα＋sinα,csα－sinα)＝eq \f(\f(7,25)×－\f(4\r(2),5),\f(3\r(2),5))＝－eq \f(28,75).
19．(本题满分12分)已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，eq \r(3))，n＝(csA，sinA)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若eq \f(1＋sin2B,cs2B－sin2B)＝－3，求tanC．
[解析] (1)∵m·n＝1，
∴eq \r(3)sinA－csA＝1,2(eq \f(\r(3),2)sinA－eq \f(1,2)csA)＝1，
sin(A－eq \f(π,6))＝eq \f(1,2)，
∵0∴A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6).∴A＝eq \f(π,3).
(2)由题知eq \f(1＋2sinBcsB,cs2B－sin2B)＝－3，
∴eq \f(csB＋sinB2,csB＋sinBcsB－sinB)＝－3
∴eq \f(csB＋sinB,csB－sinB)＝－3，
∴eq \f(1＋tanB,1－tanB)＝－3，∴tanB＝2.
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝－eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq \f(8＋5\r(3),11).
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝tan(2x＋eq \f(π,4))．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，eq \f(π,4))，若f(eq \f(α,2))＝2cs2α，求α的大小．
[解析] (1)由2x＋eq \f(π,4)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z}．
f(x)的最小正周期为eq \f(π,2).
(2)由f(eq \f(α,2))＝2cs2α，得tan(α＋eq \f(π,4))＝2cs2α，
即eq \f(sinα＋\f(π,4),csα＋\f(π,4))＝2(cs2α－sin2α)，
整理得eq \f(sinα＋csα,csα－sinα)＝2(csα＋sinα)(csα－sinα)．
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴sinα＋csα≠0.
∴(csα－sinα)2＝eq \f(1,2)，即1－sin2α＝eq \f(1,2)，
∴sin2α＝eq \f(1,2)，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，得2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
∴2α＝eq \f(π,6)，即α＝eq \f(π,12).
21．(本题满分12分)(天津理，16)已知函数f(x)＝4tanx
sin(eq \f(π,2)－x)cs(x－eq \f(π,3))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上的单调性．
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tanxcsxcs(x－eq \f(π,3))－eq \r(3)
＝4sinxcs(x－eq \f(π,3))－eq \r(3)
＝4sinx(eq \f(1,2)csx＋eq \f(\r(3),2)sinx)－eq \r(3)
＝2sinxcsx＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin2x＋eq \r(3)(1－cs2x)－eq \r(3)
＝sin2x－eq \r(3)cs2x＝2sin(2x－eq \f(π,3))．
所以，f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，函数y＝2sinz的单调递增区间是[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ]，k∈Z.
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，得
－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.
设A＝[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]，B＝{x|－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝[－eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]．
所以，当x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]时，f(x)在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]上单调递增，在区间[－eq \f(π,4)，－eq \f(π,12)]上单调递减．
22．(本题满分12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B(－eq \f(\r(5),5)，eq \f(2\r(5),5))，∠AOB＝α.
(1)求eq \f(4csα－3sinα,5csα＋3sinα)的值；
(2)设∠AOP＝θ(eq \f(π,6)≤θ≤eq \f(2,3)π)，eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))，四边形OAQP的面积为S，f(θ)＝(eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))－1)2＋eq \r(2)S－1，求f(θ)的最值及此时θ的值．
[解析] (1)依题意，tanα＝eq \f(\f(2\r(5),5),－\f(\r(5),5))＝－2，
∴eq \f(4csα－3sinα,5csα＋3sinα)＝eq \f(4－3tanα,5＋3tanα)＝eq \f(4－3×－2,5＋3×－2)＝－10.
(2)由已知点P的坐标为P(csθ，sinθ)，
又eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OP,\s\up6(→))|，
∴四边形OAQP为菱形，∴S＝2S△OAP＝sinθ，
∵A(1,0)，P(csθ，sinθ)，
∴eq \(OQ,\s\up6(→))＝(1＋csθ，sinθ)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝1＋csθ，
∴f(θ)＝(1＋csθ－1)2＋eq \r(2)sinθ－1
＝cs2θ＋eq \r(2)sinθ－1＝－sin2θ＋eq \r(2)sinθ，
∵eq \f(1,2)≤sinθ≤1，
∴当sinθ＝eq \f(\r(2),2)，即θ＝eq \f(π,4)时，f(θ)max＝eq \f(1,2)；
当sinθ＝1，即θ＝eq \f(π,2)时，f(θ)min＝eq \r(2)－1.