高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积教学课件ppt

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1.3　空间几何体的表面积与体积
1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积
北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？
1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是______________，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的____________，如图①所示；圆柱的侧面展开图是________，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝____________，表面积S表＝____________________.
2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个__________拼成的，则侧面积为各个三角形面积的______，如图①所示；圆锥的侧面展开图是________，扇形的半径是圆锥的________，扇形的弧长等于圆锥的____________，如图②所示．
(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝__________，表面积S表＝__________________.
3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个________拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的______，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．
(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝____________________，表面积S表＝____________________________________.
π(r2＋r′2＋rl＋r′l)　
4．柱体的体积(1)棱柱(圆柱)的高是指__________之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)柱体的底面积S，高为h，其体积V＝________.特别地，圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝____________.5．锥体的体积(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，________与________(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝__________.特别地，圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝______________.
6．台体的体积(1)圆台(棱台)的高是指____________之间的距离．(2)台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝________________________.特别地，圆台的上、下底面半径分别为r、r′，高为h，其体积V＝__________________________________.
1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)A．72　B．42π　　C．67π　D．72π[解析]　S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．2　B．4　　C．6　D．8
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝______.
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面积是__________.[解析]　因为圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，所以圆台的侧面积S侧＝π(r＋r′)l＝π×(7＋2)×6＝54π.
(全国卷Ⅱ文)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20π　B．24π　　C．28π　D．32π
命题方向1　⇨空间几何体的表面积
『规律方法』　空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
〔跟踪练习1〕(2018·广东省揭阳市高一月考)把一张4×8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的全面积为______________________.
如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________.
命题方向2　⇨空间几何体的体积
『规律方法』　求几何体体积的常用方法：(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
(浙江，文)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
命题方向3　⇨与三视图有关的几何体的表面积与体积
[解析] 　由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．
『规律方法』　(1)解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．(2)若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．
〔跟踪练习3〕(北京文)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为______.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
命题方向4　⇨简单组合体的体积与表面积
『规律方法』　求组合体的表面积与体积的方法(1)分析结构特征．(2)设计计算方法．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值．根据设计的计算方法求值．
〔跟踪练习4〕某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面为全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，其上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.现需对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，若加工处理费为0.2元/cm2，则需支付加工处理费多少元？
1．等积变换(1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD.(2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC.
转化思想在立体几何中的应用——割与补、等积变换
(3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC.
2．割与补当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求多面体的体积．[思路分析]　
〔跟踪练习5〕三棱台ABC－A1B1C1中，AB︰A1B1＝1︰2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为(　　)A．1︰1︰1　B．1︰1︰2C．1︰2︰4　D．1︰4︰4
把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
[错因分析]　错误的原因是考虑问题不全面，出现漏解．事实上，把矩形卷成圆柱时，也可以使4为圆柱的高，即母线长，使2为圆柱的底面周长．
3．(2019·江苏卷，9)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.