人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试同步测试题

这是一份人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试同步测试题，共13页。试卷主要包含了下列各线段的长度成比例的是，如果，那么的值是，下列各组图形中，不一定相似的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．2、5、6、8B．1、2、3、4C．3、6、7、9D．3、6、9、18
2．如图，若△ABC∽△DEF，则∠C的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形 D．任意两个正方形
5．如图，a∥b∥c，，DF＝12，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（ ）
A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若BD＝2AD，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长比为（ ）
A．1：4B．1：3C．1：2D．1：9
9．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图①），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像实验中，若物距AB为20cm，像距BC为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5cm，则蜡烛火焰的高度（ ）
A．3B．4C．6D．9
10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在CD，AD边上，且△BCE与△BFE关于直线BE对称．点G在AB边上，GC分别与BF，BE交于P，Q两点．若＝，CE＝CQ，则＝（ ）
A．B．C．D．
二．填空题
11．若2x＝5y，则的值是 ．
12．已知，△ABC∽△A'B'C'，＝，△ABC的面积为45，则△A'B'C'的面积等于 ．
13．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝ ．
14．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的动点，请你在不增加任何辅助图形与字母的情况下，补充一个条件，使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是 ．
15．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝ ．
16．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣6，3），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E'F'O'，其相似比为3：1，则点E对应点E'的坐标为 ．
三．解答题
17．如图，AD和BG是△ABC的高，连接GD．
（1）求证△ADC∽△BGC；
（2）求证△CDG∽△CAB．
18．如图在平面坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）将△ABC向右平移三个单位长度得到△A1B1C1，在平面直角坐标系中做出△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到，做出△A2B2C2．
19．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠B，AB＝2AD，BC＝6cm，∠A＝58°，∠ADE＝40°．
求：（1）∠ACB的度数；
（2）DE的长．
20．如图，在△ACB中，AC＝30cm，BC＝25cm．动点P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运动，速度是1cm/s．当△CPQ与△CAB相似时，求运动的时间．
21．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．
（1）求证：△ABE∽△CKE；
（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH•AB．
22．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：A、∵2×8≠5×6，故此选项不符合题意；
B、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；
C、∵3×9≠6×7，故此选项不符合题意；
D、∵3×18＝6×9，故此选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠C＝∠F，
∵∠F＝50°，
∴∠C＝50°，
故选：C．
3．【解答】解：∵，
∴5a﹣5b＝3a，
∴2a＝5b，
∴＝，
故选：A．
4．【解答】解：A．所有的等腰直角三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
B．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
C．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
D．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：C．
5．【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝＝，
∵DF＝12，
∴BD＝6，
故选：D．
6．【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
7．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，，
∴．
∵BD＝2AD，
∴，，．
故选：B．
8．【解答】解：∵OA：OA'＝1：2，
∴AC：A′C′＝1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：2，
故选：C．
9．【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：20：30＝x：4.5．
解得x＝3．
即蜡烛火焰的高度是3cm．
故选：A．
10．【解答】解：连接FQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAF＝90°，BC＝AD，
∵＝，
∴设AB＝4a，BC＝5a，
∵△BCE与△BFE关于直线BE对称，
∴BF＝BC＝5a，CQ＝FQ，CE＝FE，
∴AF＝＝＝3a，
∴DF＝AD﹣AF＝5a﹣3a＝2a，
∵CQ＝CE，
∴CQ＝FQ＝FE＝CE，
∴四边形CQFE是菱形，
∴FQ∥CE，
∴AB∥FQ∥CE，
∴＝＝＝，
∴设CQ＝2k，GQ＝3k，
∵CQ＝CE，
∴∠CQE＝∠CEQ，
∵AB∥CD，
∴∠ABQ＝∠CEQ，
∵∠CQE＝∠GQB，
∴∠GBQ＝∠GQB，
∴BG＝QG，
∵AB∥FQ，
∴∠ABF＝∠BFQ，∠BGQ＝∠ECQ，
∴△GBP∽△QFP，
∴＝＝＝，
∴GP＝GQ＝k，
∴＝＝，
故选：D．
二．填空题
11．【解答】解：∵2x＝5y，
∴＝，
∴设x＝5k，y＝2k，
∴＝
＝
＝，
故答案为：．
12．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝，
∵△ABC的面积为45，
∴＝，
则△A'B'C'的面积为：20．
故答案为：20．
13．【解答】解：∵点C把线段AB分成两部分，＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB，
∴AC＝AB﹣BC＝AB，
∴＝，
故答案为：．
14．【解答】解：使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是：CD：CA＝CE：CB（或CD：CE＝CA：CB，或CD：DA＝CE：BE，或DE∥AB，或∠CDE＝∠A，或∠CED＝∠B等）．
故答案为：CD：CA＝CE：CB（或CD：CE＝CA：CB，或CD：DA＝CE：BE，或DE∥AB，或∠CDE＝∠A，或∠CED＝∠B等）．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB，
∴△EAF∽△EBC，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝1，
故答案为：1．
16．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E'F'O'，相似比为3：1，E（﹣6，3），
∴点E对应点E'的坐标为（﹣6×，3×）或（﹣6×（﹣），3×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
三．解答题
17．【解答】（1）证明：在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，
∴∠BGC＝∠ADC＝90°，
又∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BGC；
（2）证明：∵△ADC∽△BGC，
∴＝，
∴＝．
又∠C＝∠C，
∴△CDG∽△CAB．
18．【解答】解：（1）如图所示，三角形ΔA1B1C1为求作图形．

（2）如图所示，三角形ΔA2B2C2为求作图形．
19．【解答】解：（1）在△AED中，
∵∠A＝58°，∠ADE＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝82°，
∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ACB＝∠AED＝82°；
（2）由（1）得：△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝2AD，
∴＝，
∴DE＝3cm．
20．【解答】解：设运动的时间为ts，
①当△CPQ∽△CAB时，＝，即＝．
解得t＝；
②当△CPQ∽△CBA时，＝，即＝．
解得t＝．
综上所述，运动时间为s或s．
21．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∵四边形BEFG是正方形，
∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG＝90°，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠ECK，
又∵∠AEB＝∠CEK，
∴△ABE∽△CKE；
（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，
∴FG∥BC，
∴∠ECK＝∠FGH，
∵∠BAE＝∠ECK，
∴∠BAE＝∠FGH，
∴△ABE∽△GFH，
∴，
∵FG＝BE，
∴，
∴BE2＝FH•AB．
22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，
∴∠GCF＝∠CEF，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2＝EF•GF，
∵AF＝CF，
∴AF2＝EF•GF．
（3）解：∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵菱形边长为2，
∴CD＝AD＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝＝1，DE＝，
∴AE＝＝，BE＝BC+CE＝2+1＝3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴＝，＝，
∴AF＝＝，AG＝AE＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝．