北京市各区期末考试数学试题分类——尺规作图

这是一份北京市各区期末考试数学试题分类——尺规作图，共11页。试卷主要包含了已知，问题等内容，欢迎下载使用。
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P．
点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
（通州）21．已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，．
作法：
分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
以点O为圆心，OA长为半径画圆；
作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
连接AC，BC．
△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（____________________________________________________）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（____________________________________________________）（填推理的依据）．
∴△ABC就是所求作的三角形．
（石景山）20．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，．
图1
求作：直线BD,使得BD∥AC．
图2
作法：如图2，
= 1 \* GB3 ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，
两直线交于点O；
= 2 \* GB3 ②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，
交于点D；
④作直线BD.
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
∵点，，，在⊙O上，，
∴ ．
∴（ ）（填推理的依据）.
∴．
（大兴）20. 下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程.
已知：如图，钝角∠AOB.

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：如图，
= 1 \* GB3 ①在射线OA上任取一点D；
②以点O为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
③分别以点D, E为圆心，大于长为半径作弧，在
∠AOB内，两弧相交于点C；
= 4 \* GB3 ④作射线OC.
则OC为所求作的射线.
完成下面的证明.
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知OD＝ .
由作图步骤③可知CD＝ .
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCE .
∴∠AOC＝∠BOC( ) (填推理的依据).
（门头沟）19．已知：如图1，在△ABC中，AB = AC ．
求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆．
图1 图2
作法： = 1 \* GB3 ① 如图2，作∠BAC的平分线交BC于D；
= 2 \* GB3 ② 作线段AB的垂直平分线EF；
= 3 \* GB3 ③ EF与AD交于点O；
= 4 \* GB3 ④ 以点O为圆心，以OB为半径作圆．
∴ ⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ AB = AC，∠BAD =∠DAC，
∴ ．
∵ AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
∴ OA = OB，OB = OC．（ ）（填推理的依据）
∴ OA = OB = OC．
∴ ⊙O就是△ABC的外接圆．
（平谷）如图，A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线.
（1） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①连接OA并延长，使AB=OA;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②作线段OB的垂直平分线；
使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l(保留作图痕迹)；
(2)直线l即为所求作的切线，完成如下证明.
证明：在⊙O中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且__________，
∴直线l是⊙O的切线(____________)(填推理的依据).
（西城）18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
= 1 \* GB3 ①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；
= 2 \* GB3 ②分别连接AE，BD并延长相交于点F；
= 3 \* GB3 ③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB=∠AEB=________°．（ ）（填推理的依据）
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，________是△ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直线交于点F，
∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．
（密云）（密云）18. 下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．
作法：① 分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，
连接EF交BD于点O；
② 以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③ 在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．
所以∠BPC=∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD=CD．
∴OA=OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB= ．
∴OB=OA．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC=∠BAC（ ）（填推理的依据）．
（丰台）19．下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接BA．
∵OA＝OB，AO =AB．
∴OB =AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP=90°（ ）（填推理的依据）．
∴ОA ⊥AP．
又∵点A⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
（顺义）9. 已知：如图，锐角∠AOB．
求作：射线OP，使OP平分∠AOB．
作法：①在射线OB上任取一点M；
②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA ，OB于C ，D两点；
③分别以点C ，D为圆心，大于的长为半径画弧，在∠AOB内部两弧交于点H；
④作射线MH，交⊙M于点P；
⑤作射线OP．
射线OP即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
由作法可知MH垂直平分弦CD．
∴（ ）（填推理依据）．
∴∠COP = ．
即射线OP平分∠AOB．
（燕山）21．已知：如图，射线．
求作：，使得点在射线上，，．
作法：①在射线上任取一点;
②以点为圆心，的长为半径画圆,交射线于另一点；
③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上方交于点；
④连接、．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明。
证明：为的直径，点在上，
（___________________________）（填推理依据）．
连接．
，
为等边三角形（___________________________）（填推理依据）．
所以为所求作的三角形．
（朝阳）18．已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法： = 1 \* GB3 ①连接OA；
= 2 \* GB3 ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
= 3 \* GB3 ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
= 4 \* GB3 ④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO=BA=BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP=90°（ ）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ ）（填推理的依据）．