专题强化练9　空间向量与立体几何的综合应用-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练9　空间向量与立体几何的综合应用

解答题

1.(2021江苏南京田家炳高级中学高二上学期10月检测,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且AB=2,AD=3,PA=,AD∥BC,AB⊥BC,∠ADC=45°.

(1)求异面直线PC与AD所成角的余弦值;

(2)求点A到平面PCD的距离.

2.(2021湖北省级示范高中高二上学期联考,)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为PD的中点.

(1)证明:PB∥平面AEC;

(2)设PA=1,∠BAD=120°,菱形ABCD的面积为2,求二面角D-AE-C的余弦值.

3.(2021浙江金华东阳中学高二上学期期中,)如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠ABC=120°,将△ABD沿BD折起,使点A到达A1的位置,且二面角A1-BD-C的平面角为60°.

(1)求证:A1C⊥BD;

(2)若点E为A1C的中点,求直线BE与平面A1DC所成角的正弦值.

4.()如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,=,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:

(1)A1B1⊥平面AA1C;

(2)AB1∥平面A1C1C.

答案全解全析

解答题

1.解析　(1)以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(0,0,),C(2,1,0),D(0,3,0),

∴=(2,1,-),=(0,3,0),

设异面直线PC与AD所成角为θ,

则cosθ===,

所以异面直线PC与AD所成角的余弦值为.

(2)连接AC,设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),

易知=(-2,2,0),=(2,1,0),

则

取x=1,得n=(1,1,),

∴点A到平面PCD的距离d===.

2.解析　(1)证明:如图1,连接BD交AC于点O,连接OE,

则O、E分别为BD、PD的中点,

所以PB∥OE,

又OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

图1

(2)由菱形ABCD的面积为2,∠BAD=120°,易得菱形的边长为2.

取BC的中点M,连接AM,易得AM⊥AD,则AM、AD、PA两两互相垂直,故以A为原点,、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图2所示的空间直角坐标系.

图2

则A(0,0,0),E,C(,1,0),

所以=,=(,1,0).

设平面ACE的一个法向量为n1=(x,y,z),则n1⊥,n1⊥,

所以令x=,则n1=(,-3,6).

易得平面ADE的一个法向量为n2=(1,0,0),

所以cos<n1,n2>===,

易知二面角D-AE-C为锐二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.

3.解析　(1)证明:取BD的中点O,连接OC,OA1,

易得OA1⊥BD,OC⊥BD,

又OA1∩OC=O,所以BD⊥平面A1OC,

又A1C⊂平面A1OC,所以A1C⊥BD.

(2)由(1)可知,∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角,所以∠A1OC=60°.

如图,以O为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,

则B(4,0,0),D(-4,0,0),C(0,4,0),

A1(0,2,6),E(0,3,3),

所以=(-4,3,3),=(4,2,6),=(4,4,0).

设平面A1DC的一个法向量为n=(x,y,z),

则

取y=1,得n=.

设直线BE与平面A1DC所成角为θ,

则sinθ=|cos<,n>|=

===.

所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为.

4.证明　因为二面角A1-AB-C是直二面角,

四边形A1ABB1为正方形,

所以AA1⊥平面BAC.

因为AB=AC,BC=AB,

所以∠CAB=90°,即CA⊥AB,

所以AB,AC,AA1两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).

(1)=(0,2,0),

易得平面AA1C的一个法向量为n=(0,1,0).

因为=2n,所以∥n.

所以A1B1⊥平面AA1C.

(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),

设平面A1C1C的一个法向量为m=(x1,y1,z1),

则即

令x1=1,则y1=-1,z1=1,

即m=(1,-1,1).

所以·m=0×1+2×(-1)+2×1=0,

所以⊥m,

又AB1⊄平面A1C1C,

所以AB1∥平面A1C1C.