专题强化练8　函数的最大(小)值及其应用-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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专题强化练8　函数的最大(小)值及其应用一、选择题1.(2021四川眉山高二上期末,)已知函数f(x)=xln x,则f(x)的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.- B.-1 C.0 D.2.(2021四川阆中中学高三上月考,)函数f(x)=x3-4x+a在[0,3]上的最大值为2,则a的值为              (　　)A.- B.2 C.5 D.3.(2021四川成都树德中学高二下月考,)已知函数f(x)=x+sin x,若存在x∈[0,π]使不等式f(xsin x)≤f(m-cos x)成立,则m的最小整数值为              (　　)A.-1 B.0 C.1 D.24.(2021重庆八中高二上月考,)直线y=m分别与直线y=2x+3及曲线y=f(x)=x+ln x交于A,B两点,则|AB|的最小值为              (　　)A.1 B.2 C.3 D.45.(多选)(2020福建宁德高二下期末,)已知函数f(x)=cos x+e|x|(x∈R),则下列判断正确的是              (　　)A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)在(-π,π)上单调递增C.函数f(x)的最小值为2,无最大值D.不等式f(1-2x)-f(x)<0的解集为6.(多选)(2021广东深圳实验学校高二上期末,)对于函数f(x)=,下列说法正确的有              (　　)A.f(x)在x=e处取得极大值B.f(x)有两个不同的零点C.f(2)<f(π)<f(3)D.若f(x)<k-在(0,+∞)上恒成立,则k>1二、填空题7.(2021天津静海一中高二下月考,)已知函数f(x)=xln x+2x(x-a)2(a∈R).若存在x∈[1,3],使得f(x)≤xf'(x)成立,则实数a的取值范围是　　　　. 8.(2021江西师大附中高二上期末,)若函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+3)内存在最大值,则实数a的取值范围是　　　　.易错 三、解答题9.(2021湖北武汉部分重点中学高二上联考,)已知函数f(x)=x3+x2+ax.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的最小值;(2)若函数g(x)=,∀x1∈,∃x2∈,使得f'(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.          10.(2021江西鹰潭高三下一模,)已知函数f(x)=xln x+ex-ax,g(x)=(x2-2x-1)ex-x2.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若对任意x∈(0,1),f(x)+g(x)<0恒成立,求整数a的最小值.深度解析  
答案全解全析专题强化练8　函数的最大(小)值及其应用一、选择题1.A　易得f'(x)=ln x+1,当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最小值为f=-,故选A.2.B　易得f'(x)=x2-4,令f'(x)>0,解得x>2或x<-2,令f'(x)<0,解得-2<x<2,故f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,故f(x)在[0,3]上的最大值是f(0)或f(3),而f(0)=a>f(3)=a-3,故f(0)=a=2,故选B.3.A　易得f'(x)=1+cos x≥0,所以f(x)=x+sin x在R上单调递增,所以存在x∈[0,π]使不等式f(xsin x)≤f(m-cos x)成立等价于xsin x≤m-cos x,即m≥xsin x+cos x在x∈[0,π]上有解,令g(x)=xsin x+cos x(x∈[0,π]),则只需m≥g(x)min,易得g'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当0≤x<时,g'(x)=xcos x>0,g(x)在上单调递增,当<x≤π时,g'(x)=xcos x<0,g(x)在上单调递减,g(0)=cos 0=1,g(π)=πsin π+cos π=-1,所以g(x)min=g(π)=-1,所以m≥-1,则m的最小整数值为-1,故选A.4.B　解法一:设A(x1,m),B(x2,m),则m=2x1+3=x2+ln x2,∴|AB|=x2-x1=x2-=(x2-ln x2+3),记g(x)=(x-ln x+3),则g'(x)==(x>0),当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0.∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=×(1-ln 1+3)=2,即|AB|的最小值为2.解法二:过点B作直线y=2x+3的垂线,垂足为C,易得|AB|=|BC|,要使|AB|最小,则|BC|最小,即点B到直线y=2x+3的距离最小.将直线y=2x+3平移至与曲线y=x+ln x相切,切点即为所求点B.设B点坐标为(x0,y0),由f'(x)=1+可得f'(x0)=1+=2,解得x0=1,∴B点坐标为(1,1),∴A点坐标为(-1,1),∴|AB|=2,即|AB|的最小值为2.故选B.5.CD　因为f(-x)=cos(-x)+e|-x|=cos x+e|x|=f(x),x∈R,所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A错误;易知偶函数在对称轴两侧的单调性相反,因此f(x)在(-π,0)和(0,π)上单调性不同,故B错误;当x>0时,f(x)=cos x+ex,则f'(x)=-sin x+ex,因为x>0时,ex>1,-1≤sin x≤1,所以f'(x)=-sin x+ex>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,因此f(x)min=f(0)=1+1=2,即函数f(x)的最小值为2,无最大值,故C正确;由f(1-2x)-f(x)<0得f(1-2x)<f(x),因为函数f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以|1-2x|<|x|,即(1-2x)2<x2,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1,即不等式f(1-2x)-f(x)<0的解集为,故D正确.故选CD.6.ACD　易得f'(x)=(x>0),令f'(x)=0,得x=e,则当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,故当x=e时,函数取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确;由f(x)=0,得ln x=0,解得x=1,即函数f(x)只有一个零点,故B错误;易得f(2)=f(4),由x>e时,函数f(x)单调递减,得f(3)>f(π)>f(4),故f(2)<f(π)<f(3),故C正确;若f(x)<k-在(0,+∞)上恒成立,则k>在(0,+∞)上恒成立,设h(x)=(x>0),则h'(x)=-(x>0),当0<x<1时,h'(x)>0,当x>1时,h'(x)<0,故当x=1时,函数h(x)取得极大值,也是最大值,最大值为h(1)=1,所以k>1,故D正确.故选ACD.二、填空题7.答案　解析　设g(x)=,则g'(x)==+4(x-a).存在x∈[1,3],使得f(x)≤xf'(x)成立,即+4(x-a)≥0,即a≤x+在x∈[1,3]上有解,只需a≤x+max即可.设h(x)=x+(x∈[1,3]),则h'(x)=1-=.当x∈[1,3]时,h'(x)>0,则h(x)单调递增,所以h(x)max=h(3)=.所以a≤.8.答案　 (-3,-2]解析　由题可知 f'(x)=3x2-2x=x(3x-2),所以函数f(x)在上单调递减,在(-∞,0),上单调递增,故函数f(x)的极大值为 f(0)=0.所以若f(x)在(a,a+3)内存在最大值,则最大值一定是极大值,所以解得-3<a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,-2].易错警示本题由函数在开区间内存在最大值得极大值即为最大值,不仅要使极大值点在区间内,还要使f(a+3)≤f(0).三、解答题9.解析　(1)易得f'(x)=x2+2x+a,∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,∴a≥-x2-2x在[1,+∞)上恒成立,当x=1时,(-x2-2x)max=-1-2=-3,∴a≥-3,∴实数a的最小值为-3.(2)∀x1∈,∃x2∈,使得f'(x1)≤g(x2)成立等价于当x∈,2时,f'(x)max≤g(x)max,∵f'(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在上单调递增,∴f'(x)max=f'(2)=a+8.易得g'(x)=,当x∈时,g'(x)>0;当x∈(1,2]时,g'(x)<0,∴g(x)max=g(1)=,∴a+8≤,解得a≤-8,即实数a的取值范围为.10.解析　(1)若a=1,则f(x)=xln x+ex-x,定义域是(0,+∞),可得f(1)=e-1,f'(x)=ln x+ex,则f'(1)=e,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ex-1,令x=0,得y=-1,令y=0,得x=,故所求三角形的面积为×|-1|×=.(2)由对任意x∈(0,1),f(x)+g(x)<0恒成立,得a>ln x-x+(x-2)ex在(0,1)上恒成立,设h(x)=(x-2)ex+ln x-x,x∈(0,1),则h'(x)=(x-1),当0<x<1时,x-1<0,设u(x)=ex-(0<x<1),则u'(x)=ex+>0,故u(x)在(0,1)上单调递增,又u=-2<0,u(1)=e-1>0,u(x)的图象是连续不间断的,故存在x0∈,使得u(x0)=0,即=,当x∈(0,x0)时,u(x)<0,h'(x)>0,当x∈(x0,1)时,u(x)>0,h'(x)<0,故函数h(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,1)内单调递减,故h(x)max=h(x0)=(x0-2)+ln x0-x0=(x0-2)·-2x0=1-,易知函数y=1-在,1上单调递增,故h(x0)∈(-4,-3).因为a>h(x)在x∈(0,1)上恒成立,且a∈Z,所以a的最小值是-3.方法技巧零点不易求解的问题称为“隐零点”问题,对于函数的“隐零点”,常设其为x0,再利用隐零点处的函数值为0,得到关于隐零点的关系式,然后利用整体代换思想求解.