专题强化练6　导数与函数的单调性-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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专题强化练6　导数与函数的单调性一、选择题1.(2021甘肃兰州一中高二下月考,)函数f(x)=xln x,a=f(2),b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系是              (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.b<c<a  B.c<b<a  C.c<a<b D.a<c<b2.(2021陕西西安一中高二上月考,)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则实数k的取值范围是              (　易错　)A. B.  C.[1,+∞) D.(-∞,1]3.()已知y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,其中f'(x)是函数f(x)的导数,则函数y=f(x)的图象可能是　              (　　)A BC D(多选)(2021湖北应城一中高二上期末,)已知函数f(x)=xcos x,x∈R,则下列说法正确的有 (　　)A.f(x)是奇函数B.f(x)是周期函数C.曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为x+y=0D.f(x)在区间上单调递增5.(2020天津六校高三上期末联考,)设函数f(x)在R上可导,∀x∈R,都有f(x)+f(-x)=x2成立,且f(2)=2,∀x∈(0,+∞),都有f'(x)>x成立,则 >的解集为              (　　)A.(-2,0)∪(0,2)  B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)6.(多选)(2021湖北部分重点中学高二下联考,)已知定义在上的函数f(x)的导函数是f'(x),且f'(x)<-tan x·f(x)恒成立,则              (　　)A.f >f  B.f >f C.f >f  D.f >f 二、填空题7.(2021湖南常德二中高二上联考,)已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1](t>1)上不单调,则t的取值范围是　　　　.深度解析 8.(2021吉林白山高三联考,)已知函数f(x)=则关于x的不等式f(x+3)+f(x)+15>0的解集为　　　　. 三、解答题9.(2021黑龙江哈尔滨九中高二下月考,)已知函数f(x)=x+-m(m∈R).(1)当m=1时,求f(x)的单调区间;(2)讨论f(x)的单调性.   10.(2020山东德州高三上期末,)已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性;(3)若a为正整数,且函数f(x)恰有两个零点,求a的值.       
答案全解全析专题强化练6　导数与函数的单调性一、选择题1.B　易知f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x,由f'(x)=1+ln x>0可得x>,由f'(x)=1+ln x<0可得0<x<,所以f(x)=xln x在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,因为0<<<,所以f>f,即b>c,因为f =ln<0,f(2)=2ln 2>0,所以f(2)>f,即a>b,所以c<b<a.故选B.2.C　∵f(x)=kx-ln x,∴f'(x)=k-.∵函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,∴f'(x)≥0(不恒等于0)在区间(1,+∞)上恒成立,∴k≥在区间(1,+∞)上恒成立,∵y=在区间(1,+∞)上单调递减,∴0<<1,∴k≥1,∴k的取值范围是[1,+∞).故选C.易错警示已知函数f(x)是增函数(减函数),求函数解析式中参数的取值范围时,需注意令f'(x)≥0(f'(x)≤0),再通过解不等式求出参数的取值范围,然后检验参数取端点值时f'(x)是否恒等于0,若f'(x)恒等于0,则应舍去这个参数的值;若f'(x)不恒等于0,则符合题意.3.B　由题中图象可得,当x>3时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当1<x<3时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-1<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,满足条件的只有选项B.故选B.4.AC　因为函数的定义域是R,f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以A正确;易知不存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),故f(x)不是周期函数,所以B错误;易知f'(x)=cos x+x(-sin x)=cos x-xsin x,f'(π)=-1,f(π)=-π,故曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y+π=-(x-π),即x+y=0,所以C正确;当x∈,π时,-1<cos x<0,xsin x>0,故f'(x)=cos x-xsin x<0,故f(x)在区间,π上单调递减,所以D错误.故选AC.5.C　令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-x.∵g(-x)+g(x)=f(-x)-(-x)2+f(x)-x2=0,g(x)的定义域为R,∴函数g(x)为奇函数.∵当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0恒成立,∴函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,∴函数g(x)在(-∞,0)上也是增函数.∵>,∴f(x)-x2>0,即g(x)>0.∵f(2)=2, ∴g(2)=f(2)-×22=0,∴g(-2)=-g(2)=0,∴当x∈(2,+∞)或x∈(-2,0)时,g(x)>0,∴>的解集为(-2,0)∪(2,+∞),故选C.6.CD　由f'(x)<-tan x·f(x),得f'(x)<-·f(x),即sin x·f(x)+cos x·f'(x)<0.构造函数F(x)=,则F'(x)=<0,所以F(x)在上递减,因为0<<<<,所以F>F>F,即 >>,即 >>f,所以f>f,f>f.故选CD.二、填空题7.答案　(2,3)解析　∵函数f(x)=-x2+4x-3ln x,∴f'(x)=-x+4-=-,∵函数f(x)在[t,t+1](t>1)上不单调,∴f'(x)=0在[t,t+1](t>1)上有解,∴=0在[t,t+1](t>1)上有解,令g(x)=x2-4x+3,∴g(x)=0在[t,t+1](t>1)上有解,令g(x)=0,得x=1或x=3,∵t>1,∴t<3<t+1,解得2<t<3.方法技巧对于由可导函数在某区间上不单调求参数的取值范围问题,常见求解策略有2种:(1)先求出函数在某区间上单调时参数的取值范围,再对结果取补集,即得函数在某区间上不单调时参数的取值范围.(2)将问题转化为导数等于0的方程在该区间上有实数解.8.答案　(-4,+∞)解析　当x≥0时,f'(x)=ex+e-x-2cos x≥2-2cos x≥0,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以x≥0时,f(x)递增.当x<0时,f(x)=(1-x)(1+x)=1-x2递增.因为f(0)=e0-e0-2sin 0+1=1,(1-0)×(1+0)=1,所以f(x)在R上单调递增,令g(x)=f(x+3)+f(x)+15,则g(x)在R上单调递增.又g(-4)=f(-1)+f(-4)+15=0,所以f(x+3)+f(x)+15>0的解集为(-4,+∞).三、解答题9.解析　(1)由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞).当m=1时,f(x)=x+-=x-ln x,则f'(x)=1-=.当x∈(0,1)时,f'(x)=<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)=>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)f'(x)=1-+-=1+-==.①当m-1≤0,即m≤1时,>0,由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1,所以当m≤1时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;②当0<m-1<1,即1<m<2时,由f'(x)>0,得x>1或0<x<m-1,由f'(x)<0,得m-1<x<1,所以当1<m<2时,f(x)在(0,m-1)和(1,+∞)上单调递增,在(m-1,1)上单调递减;③当m-1=1,即m=2时,f'(x)=≥0,所以当m=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;④当m-1>1,即m>2时,由f'(x)>0,得x>m-1或0<x<1,由f'(x)<0,得1<x<m-1,所以当m>2时,f(x)在(0,1)和(m-1,+∞)上单调递增,在(1,m-1)上单调递减.综上可知,当m≤1时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当1<m<2时,函数f(x)在(0,m-1)和(1,+∞)上单调递增,在(m-1,1)上单调递减;当m=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m>2时,f(x)在(0,1)和(m-1,+∞)上单调递增,在(1,m-1)上单调递减.10.解析　(1)由题意知x>0,f'(x)=+2ax-(a+2)=,则f'(1)=a-1,由于函数y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,所以f'(1)·=-1,所以f'(1)=a-1=3,解得a=4.(2)因为a>0,所以>0.①若0<a<2,则>,当0<x<或x>时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0,所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.②若a=2,则=,∀x>0,f'(x)≥0(不恒为0)恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.③若a>2,则<,当0<x<或x>时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0,所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.综上,当0<a<2时,f(x)在和上单调递增,在上单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x)在和上单调递增,在上单调递减.(3)若0<a<2,a为正整数,则a=1,则f(x)=ln x+x2-3x+2,由(2)知f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,又f(1)=0,所以函数f(x)在区间内仅有一个零点,f>f(1)=0,又f(e-2)=e-4-3e-2=e-2(e-2-3)<0,所以函数f(x)在区间内仅有一个零点.此时函数f(x)在区间(0,+∞)内恰有两个零点.若a=2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点.若a>2,则f =ln+a-(a+2)·+2=ln-+1,令t=,则0<t<,y=ln t-t+1,y'=-1>0,所以y<ln-+1=-ln 2<0.由(2)知f(x)在上单调递减,在和上单调递增,所以f<f<0,所以函数f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点.综上,a=1.