专题强化练4 数列求和-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练4　数列求和

一、选择题

1.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)设Sn为数列{an}的前n项和,an=1+2+22+…+2n-1,则Sn的值为              (　　)

A.2n-1  B.2n-1-1

C.2n-n-1  D.2n+1-n-2

2.()已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 (　　)

A.0      B.100 

C.-100 D.10 200

3.(2020山东淄博一中高二上期中,)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5a2n-5=22n(n≥3),则当n≥3时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=              (　　)

A.n(2n-1) B.(n+1)2 

C.n2              D.(n-1)2

4.(2021山西名校联盟高二上期末联考,)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,对任意的n∈N+都有nan=(n+2)an+1,则S2 021=              (　　)

A. B. 

C. D.

二、填空题

5.(2020河南创新发展联盟联考,)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　　　. 

6.(2021豫南九校高二上联考,)已知数列{an}满足an=2n-1,Sn为{an}的前n项和,记bn=Sn·cos·π+Sn+1·cos,数列{bn}的前n项和为Tn,则T50=　　　　. 

三、解答题

7.(2021吉林二中高二上月考,)在等差数列{an}中,a5=-10,a6+a7+a8=-18,其前n项和为Sn.

(1)求Sn的最小值及此时n的值;

(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|的值.

易错

8.(2021河南平顶山高二上期末,)已知等比数列{an}的公比不为1,且a1=1,2a3是3a2与a4的等差中项.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

9.(2021河南许昌高级中学高二上二调,)已知数列{an},{bn}满足bn=an-(-1)nn2,a1+b1=1,a2+b2=8,且数列{bn}是等差数列.

(1)设cn=2nbn,求数列{cn}的前n项和Sn;

(2)设数列{an}的前n项和为Tn,若A={n|n≤110且Tn≤110},求集合A中所有元素的和T.

答案全解全析

专题强化练4　数列求和

一、选择题

1.D　∵an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,

∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)

=-n=2n+1-n-2.故选D.

2.B　由题意可得,当n为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;

当n为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.

所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=[-2×(1+3+5+…+99)-50]+[2×(2+4+6+…+100)+50]=100,故选B.

3.C　∵{an}是等比数列,∴a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=…=a2n-1a1=22n(n≥3).

设a1a3…a2n-1=A(n≥3),则a2n-1a2n-3…a1=A(n≥3),

∴A2=(a1a2n-1)·(a3a2n-3)·…·(a2n-1a1)=(22n)n.

又an>0,∴A=(n≥3),

∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3…a2n-1)=log2=n2(n≥3).故选C.

4.C　数列{an}满足a1=,对任意的n∈N+都有nan=(n+2)an+1,

则有n(n+1)an=(n+1)(n+2)an+1,

所以数列{n(n+1)an}为常数列,

则n(n+1)an=2a1,因为a1=,所以n(n+1)an=1,所以an==-,所以S2 021=1-+-+…+-=1-=.故选C.

二、填空题

5.答案　(+-1-)

解析　由题意知an=

=(-),

所以Sn=a1+a2+…+an=(-+-+-+…+-)=(+-1-).

6.答案　-104

解析　由数列{an}满足an=2n-1,得Sn==n2,

则bn=n2·cos+(n+1)2·cos,

则T50=12-32-32+52+52-72-72+92+…+492-512

=(12-32)-(32-52)+(52-72)-(72-92)+…+(492-512)

=-2×4+2×8-2×12+2×16-…-2×100=-104.

三、解答题

7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a6+a7+a8=3a7=-18,∴a7=-6,又a5=-10,

∴解得

∴Sn=-18n+×2=n2-19n=n-2-,

∴当n=9或n=10时,Sn有最小值,最小值为-90.

(2)由(1)知a1=-18,d=2,∴an=-18+(n-1)×2=2n-20,

令2n-20≥0,得n≥10.

∴n≤10时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn=-n2+19n,

n≥11时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-2S10+Sn=180+n2-19n.

∴Tn=

易错警示

求数列{|an|}的前n项和时,要注意将结果写成分段的形式.

8.解析　(1)设数列{an}的公比为q(q≠0且q≠1),

由条件知4a3=3a2+a4,

即4a1q2=3a1q+a1q3,

整理可得q2-4q+3=0,

解得q=3或q=1(舍去),

所以an=a1·3n-1=3n-1.

(2)由(1)知bn===-,

所以Tn=++…+=-=-.

9.解析　(1)由bn=an-(-1)nn2,得an=bn+(-1)nn2,则a1=b1-1,a2=b2+4,

因为a1+b1=1,a2+b2=8,所以b1=1,b2=2,

因为数列{bn}是等差数列,

所以数列{bn}的公差d=b2-b1=1,

所以bn=n,故cn=n×2n,

所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n①,

则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1②,

①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,所以Sn=(n-1)×2n+1+2.

(2)由(1)得an=n+(-1)nn2,a1=0,

所以a2n+a2n+1=2n+(2n)2+2n+1-(2n+1)2=0,

则T2n-1=a1+(a2+a3)+…+(a2n-2+a2n-1)=0+0+…+0=0,

所以n为奇数时,Tn=0,故1,3,5,…,109都是集合A中的元素,

又T2n=T2n-1+a2n=0+2n+(2n)2=2n(2n+1),所以n为偶数时,Tn=n(n+1),

令Tn≤110,即n(n+1)≤110,得n≤10,所以2,4,6,8,10都是集合A中的元素,

所以T=(1+3+…+109)+(2+4+6+8+10)=×55+30=3 025+30=3 055.