山西省长治市第二中学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份山西省长治市第二中学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。
命题人：【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数（其中为虚数单位），则
A． B．5 C． D．3
2．已知,若，则
A． B． C． D．
3．已知直线和平面，下列说法正确的是
A．如果，那么平行于经过的任意一个平面．
B．如果，那么平行于平面内的任意一条直线．
C．若，则 .
D．若，则.
4．在空间四边形ABCD中，AC=BD，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，四边形EFGH的形状是
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
5．在中,点在边上，且，点在上，且,则用向量表示为
A． B．
C． D．
6．圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积是
A． B． C． D．
7．已知的外接圆圆心为,且，则向量在向量 上的投影向量是
A． B． C． D．
8．在中,角所对的边分别是，已知，则
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．已知复数（其中为虚数单位），则
A．虚部是 B．
C． D．复数在复平面内对应的点位于第三象限
10．下列关于异面直线说法正确的有（其中是平面）
A．不存在平面，使得且
B．存在平面，且
C．不存在平面，使得且
D．存在平面，，且
11．在直角中,,角的平分线交于点,以下结论正确的是
A． B． C． D．的面积为
12．如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC,AD的延长线交于点E，对边AB,DC的延长线交于点F,若,则
A． B．
C． 的最大值为1 D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置。
13．设，则与垂直的单位向量的坐标为 .
14．已知按照斜二测画法作出它的直观图,如图，是一个直角边长为1的等腰直角三角形，,则的面积= .
15．若圆锥底面半径为1，高为，其中有一个内接正方体ABCD-A1B1C1D1，其中A、B、C、D四点在圆锥底面上，A1、B1、C1、D1在圆锥侧面上，则这个正方体的棱长为 .
16．某海岛上一观察哨A在上午9时测得一轮船在海岛北偏东的C处， 10时20分测得轮船在北偏西的B处，10时40分轮船到达海岛正西方向，距离海岛5的E港口.若轮船始终保持匀速直线前行，则轮船的速度为 km/h．
四、解答题:本大题共70分
17．(本题满10分)
已知
（1）若向量与垂直, 求实数的值;
（2）若，求与的夹角及的值.
18．(本题满分12分）
在中 ，角所对的边分别是，根据下列条件解三角形
(1)
(2)
19．(本题满分12分）
如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：，结果用含根号及的式子表示）.
20．(本题满分12分)
如图，在长方体中，若
若点在棱上,且,求证:；
（2）证明点在平面AEF内.
21．(本题满分12分)
某市规划了一条如图所示的五边形自行车平面赛道.其中为赛道，和为赛道内的两条服务通道，已知，，且，
(1) 求服务通道的长度；
(2) 求折线段赛道长度的最大值（即求的最大值).
22．(本题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点和点，,
设.
（1）若，设点为线段上的动点，求的取值范围；
（2）若，向量，求的最小值及对应的值.
数学答案
1~5．ACDCB 6~8． DBC 9． BD 10. ABD 11.BCD 12.ABD
13. 或 14. 15. 16.
17(1) 分
分
分
18.(1)分
(2)或分
18.（1）分
分
证明,(1) 连接EM,,由题目条件
,且,四边形DEMC为平行四边形
EM//DC,且EM=DC，又DC//AB,且DC=AB,所以四边形AEMB为平行四边形
AE//BM，又
所以分
（2）
所以点在平面AEF内分
21.(1).在中，由正弦定理

在中，
所以，解得
答：AC为分.
.在中..
即当且仅当AB=BC时取得最大值分
22.解：(1)设由题意知
所以
所以
所以分
（2）由题意得
则分
因为所以，所以
所以
所以当即时，的最小值为分