北师大版必修26.2垂直关系的性质教学演示课件ppt

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拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
拓展：平面与平面垂直还有如下性质：两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．也就是说：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内．
1．下列说法正确的是(　　)A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．垂直于同一条直线的两条直线垂直C．垂直于同一个平面的两条直线平行D．垂直于同一条直线的直线和平面平行[解析]　在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行，相交，也可能异面，所以选项A，B错；垂直于同一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或直线和平面平行，所以选项D错．
3．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l、m的位置关系是(　　)A．相交　B．平行　　C．异面　D．不确定
4．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与α的关系是__________________．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1上一动点，则OP与AE的关系是________．[解析]　设AD的中点为F，则OP在AE所在平面ADD1A1内的射影为A1F．又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE∴AE⊥面A1B1OF.∴OP⊥AE．
命题方向1　⇨线面垂直性质的应用
　　　　　已知a，b是异面直线，α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c．[思路分析]　可尝试把两条异面直线转化为相交直线，证明直线l与c与同一个平面垂直．
[解析]　如图，在a上取一点A，过点A作直线b′⊥β．∵b⊥β，∴b′∥b(直线与平面垂直的性质定理)．∵l⊥b，b′∥b，∴l⊥b′．∵l⊥a，∴l垂直于由a与b′确定的平面γ．∵a⊥α，α∩β＝c，∴a⊥c同理b⊥c.∵b∥b′，∴c⊥b′又a∩b′＝A，a与b′确定的平面为γ，∴c⊥γ．又l⊥γ，∴l∥c(直线与平面垂直的性质定理)．
『规律总结』　1.线面垂直的性质定理本质上揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了一种证明线线平行的方法．2．证明线线平行的常用方法是：(1)平行线的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．在实际证明时，要根据题意灵活选用．
〔跟踪练习1〕本例若改为：α∩β＝l，E是α，β外一点，EA⊥α于A，EB⊥β于点B，aβ，a⊥AB．求证：a∥l．[证明]　∵EA⊥α，∴EA⊥l∵EB⊥β，∴EB⊥l又EA∩EB＝E∴l⊥面EAB．同理可证：a⊥面EAB．∴a∥l．
命题方向2　⇨面面垂直性质定理的应用
『规律总结』　1.由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，这种直线与平面的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的重要思想方法，也为我们提供了作平面垂线的一种方法．2．应用面面垂直的性质定理要注意的两个问题：(1)应用面面垂直的性质定理时，四个条件缺一不可：“α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l.”(2)应用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直．
〔跟踪练习2〕如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．
[思路分析]　解答本题可先由面面垂直得线面垂直，再进一步得出线线垂直．
[证明]　(1)连接PG，BD，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，PG∩BG＝G∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．
命题方向3　⇨性质的综合应用
『规律总结』　运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
〔跟踪练习3〕如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的长．[思路分析]　利用已知三角形中的长度关系求解注意△ACB，△BCD都是Rt△．
[说明]　本题综合运用了面面垂直的性质以及直角三角形中的勾股定理．要求CD的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角形中去求解．另外，本题也可以通过连接AD求解．
　　　　　在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．
转化思想在线线、线面垂直中的应用　　
[解析]　(1)连接ED，因为AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点所以AC⊥DE，AC⊥DB，DE∩DB＝D，又EF∥DB，所以E，F，B，D四点共面，所以AC⊥平面EFBD，所以AC⊥FB．(2)取FC中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC，又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以，平面GHI∥平面ABC，因为GH平面GHI，所以GN∥平面ABC．
〔跟踪练习4〕如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD．
　　　　　如图所示，已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC．
[错解]　∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB．又∵AB在平面SAB内，∴AB⊥BC．
[辨析]　错解没有理解面面垂直的定理，误认为两个平面垂直，则一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面，显然不正确．知道面面垂直，要证线线垂直，可将证线线垂直转化为线面垂直．由已知面面垂直，则可在一个平面内作两个平面的交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面．
[正解]　过点A作AE⊥SB，垂足为E∵平面SAB垂直于平面SBC且交于SB∴AE⊥平面SBC∴BC⊥AE．由已知SA⊥平面ABC∴SA⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AB．
课 时 作 业 学 案