北师大版必修27.3球的表面积和体积多媒体教学课件ppt

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§7　简单几何体的再认识
为了让上海世博会与南非世界杯这两个2010年全球最重要的盛会遥相呼应，德国馆的工程师把目光投向了馆内一个重达1.23吨的金属互动球．该球直径为3米，基底下设有声控及互动交控装置，球体表面可播放、展示LED影像及图片．一旦参观者齐声高喊，金属球就会应声摆动，这成为德国馆的一大亮点．想要计算出该球的体积吗？赶快来学习本节知识吧！
1．球的体积球的半径为R，那么它的体积是V＝__________．2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积是S＝_________．
2．已知球的大圆周长为6π，则它的表面积和体积分别是(　　)A．36π，144π　　　　　　B．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π
3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)A．RB．2R C．3RD．4R
4．球的表面积为4πcm2，则其体积为______cm3．
5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_______．
命题方向1　⇨球的表面积
　　　　　一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2和400πcm2，试求球的表面积．[思路分析]　求球的表面积或体积只需要求出球的半径，要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
[解析]　(1)当球心在两个截面同侧时，如右图，设OD＝x，由题意知π·CA2＝49π∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．设球半径为R，则依题意，得(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15．∴R＝25，故S球＝4πR2＝2 500π(cm2)．
(2)当球心在两个截面之间时，如右图．设OD＝xcm，则OC＝(9－x)cm由题意得π·CA2＝49π∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20cm．设球半径为R，则依题意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，故此情况不可能．综上可知，所求球的表面积为2 500π(cm2)．
『规律总结』　常常借助于球的轴截面性质列方程(组)求球半径，进而求出球的表面积．轴截面为空间问题转化到平面几何问题创造了条件．
命题方向2　⇨球的体积
　　　　　一种空心钢球的质量为142g，外径是5.0cm，求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)．
『规律总结』　计算球的体积或体积的简单应用，都需要认真解决半径问题．
一个平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面距离为4cm，则球的体积为______cm3．
命题方向3　⇨球的组合体
　　　　　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球[思路分析]　要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
的体积为________．
『规律总结』　与球有关的组合体问题，通常有两种情况：一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径，球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．
〔跟踪练习3〕设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
常见的切与接问题：1．球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．2．多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．3．球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．
几何直观与空间想象能力——切与接　　
　　　　　有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．[思路分析]　有关球的内切和外接问题，作出轴截面研究．
『规律方法』　常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
　　　　　若一个球的体积扩大了8倍，则它的表面积扩大了____________倍．
[辨析]　错解审题有误．一个球的体积扩大了8倍，相当于扩大后的球体积是原来球体积的9倍．关于表面积扩大了几倍的理解，上述解法也是错误的．
『规律总结』　正确地理解下列说法：“扩大了”、“扩大”、“扩大成”、“扩大为”、“扩大到”等的区别和联系.
课 时 作 业 学 案