高中数学北师大版必修44.3单位圆与诱导公式教课内容课件ppt

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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？
在单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于P(cs x，sin x)，当P点变化时，点P的横纵坐标也在变。根据正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cs x的定义，我们可以根据单位圆看出它们有如下性质(1)定义域y＝sin x和y＝cs x的定义域是____.(2)值域与最值y＝sin x和y＝cs x的值域是_______________.当x＝___________________时，y＝sin x取得最大值1；当x＝____________________时，y＝sin x取得最小值－1；当x＝_______________时，y＝cs x取得最大值1；当x＝__________________时，y＝cs x取得最小值－1；
2kπ＋π(k∈Z)　
(3)周期性y＝sin x和y＝cs x都是周期函数，它们的最小正周期是______.(4)单调性y＝sin x在每一个区间_________________________________上是增加的，在每一个区间__________________________________上是减少的．y＝cs x在每一个区间______________________________上是增加的，在每一个区间______________________________上是减少的．
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　
2．函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为___________________.
命题方向1　⇨正弦、余弦函数的值域问题
『规律总结』　形如y＝asin x＋b的函数求值域或最值时，一般利用换元法，但要注意新元的范围．
〔跟踪练习1〕函数y＝2cs x－1的最大值、最小值分别是(　　)A．2、－2B．1、－3C．1、－1D．2、－1
命题方向2　⇨正弦型函数的值域
『规律总结』　形如y＝Asin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|，|A|]；当定义域为某个给定的区间时，需先确定ωx＋φ的范围，结合正弦函数的单调性确定值域．
求下列函数的值域：(1)y＝3－2cs 2x，x∈R；(2)y＝cs 2x＋2sin x－2，x∈R.[思路分析]　(1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
与三角函数有关的函数的值域　
[解析]　(1)∵－1≤cs 2x≤1，∴－2≤－2cs 2x≤2.∴1≤3－2cs 2x≤5，即1≤y≤5.∴函数y＝3－2cs 2x，x∈R的值域为[1,5]．(2)y＝cs 2x＋2sin x－2＝－sin 2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.∵－1≤sin x≤1，∴函数y＝cs 2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
『规律总结』　求形如y＝asin 2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
〔跟踪练习3〕求下列函数的值域．(1)y＝3－2sin 2x；(2)y＝|sin x|＋sin x.[解析]　(1)∵－1≤sin 2x≤1，∴1≤y≤5.∴y∈[1,5]．(2)当sin x≥0时，y＝2sin x≤2，这时0≤y≤2；当sin x