高中数学北师大版必修45从力做的功到向量的数量积课文课件ppt

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§5 从力做的功到向量的数量积
水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．
2．向量的数量积(或内积)(1)定义：___________________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即_______＝___________________.(2)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影___________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影___________的乘积．
|a||b|cs θ　
3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质：(1)若e是单位向量，则e·a＝_______＝______________.(2)若a⊥b，则___________；反之，若___________，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔___________.(3)|a|＝_____.(4)cs θ＝_______(|a|·|b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a|·|b|.当且仅当_______时等号成立．
4．向量数量积的运算律给定向量a，b，c和实数λ，有以下结果：a·b＝_______；(λa)·b＝____________＝____________；a·(b＋c)＝_____________.
2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　)A．60°　　　　　　　B．120°　C．135°　　D．150°
4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则a在b方向上的射影为_____.
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.(1)求a·b；(2)求a在b上的射影．[思路分析]　已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．
命题方向1　⇨向量数量积的定义及几何意义
〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.
已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[思路分析]　根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可．
命题方向2　⇨平面向量的数量积的运算律
『规律总结』　求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
〔跟踪练习2〕已知|a|＝3，|b|＝4，θ＝120°(θ为a与b的夹角)，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(a＋b)·(a＋b)；(4)(a－2b)·(3a＋b)．[分析]　将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b＝|a|·|b|cs θ求．[解析]　(1)原式＝|a|·|b|·cs θ＝12×cs 120°＝－6；(2)原式＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7；(3)原式＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cs θ＝9＋16＋2×(－6)＝13.(4)原式＝3a2－5a·b－2b2＝3|a|2－2|b|2－5·|a|·|b|·cs θ＝27－32－5×(－6)＝25.
已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求a与a＋b的夹角．[思路分析]　根据题中所给等式求出向量a与a＋b的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．
命题方向3　⇨向量的夹角
〔跟踪练习3〕若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A．30°　B．60°C．120°　D．150°
命题方向4　⇨求向量的模
已知a，b是非零向量，θ为a，b的夹角，当|a＋tb|(t∈R)取最小值时，(1)求t的值；(2)已知a与b共线且同向，求证：b⊥(a＋tb)．[思路分析]　(1)将a＋tb的模表示为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b⊥(a＋tb)，只需证b·(a＋tb)＝0.
用向量数量积解决垂直问题　
『规律总结』　本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a＋tb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b·(a＋tb)＝0，求解时利用a与b共线且同向的条件，确定t的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．
〔跟踪练习5〕已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？[分析]　利用c⊥d⇔c·d＝0，构造关于k的方程组求解．
[辨析]　错误的原因在于认为a与b的夹角为∠C.其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．
『规律总结』　在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．
〔跟踪练习6〕若向量a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a的值．[思路分析]　先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　)A．a＝bB．a≠bC．|a|＝|b|D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等[解析]　设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，∵a·c＝b·c，∴|a||c|cs θ1＝|b|·c|cs θ2，即|a|cs θ1＝|b|cs θ2，故选D．
2．下列命题正确的是(　　)A．|a·b|＝|a||b|　　B．a·b≠0⇔|a|＋|b|≠0C．a·b＝0⇔|a||b|＝0　　D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c[解析]　选项D是分配律，正确，A、B、C不正确．