河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析）

这是一份河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析），共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 化简（ ）
A. B. C. D.
2. 梯形中，，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系只能是( )
A. 平行 B. 平行或异面 C. 平行或相交 D. 异面或相交
3. 已知,,且,则( )
A. B. C. D.
4. 下列说法不正确的是( )
A. 方向相同大小相等的两个向量相等B. 单位向量模长为一个单位
C. 共线向量又叫平行向量D. 若则ABCD四点共线
5. 设为虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
6. 如图,是水平放置的的直观图,则的周长为( )
A. B.
C. D.
7. 已知正方体的体积是，则其外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
8. 如果，那么和（ ）
A. 互补 B. 可能相等，也可能互补
C. 大小无关 D. 相等
二、多选题（每小题5分，选对但选不全2分，共4小题20分）
9. 复数,则( )
A. 在复平面内对应的点的坐标为
B. 在复平面内对应的点的坐标为
C. D.
10. 在正方体中,,,分别是,,的中点,下列四个推断中正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面平面
11. 已知,则下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 点、、、分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则下图中,直线与不是异面直线的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 是虚数单位,设,其中,是实数,则__________.
14. 正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是__________.
15. 已知中，，求__________.
16. 已知，为直线，为平面，，，则与之间的关系是__________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 计算下列各式： (1)； (2)
18. 已知与的夹角为，且．如果与互相垂直，求实数的值．
19. 实数取什么数值时，复数是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点．证明：平面.
在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点．
（1）求证：面； （2）求三棱锥的体积．
如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面.分别是的中点,.
求证:；
(2) 求证:平面.
期中答案和解析
第1题：
【答案】B
【解析】.
第2题：
【答案】B
【解析】由题意，，则平面内的直线与可能平行，也可能异面．
第3题：
【答案】A
【解析】,,且,则.
第4题：
【答案】D
【解析】根据向量相等的概念判断正确; 根据单位向量的概念判断正确; 根据共线向量的概念判断正确; 平行四边形中,因此四点不共线,故错误. 故选:.
第5题：
【答案】A
【解析】由题意得,所以在复平面内表示复数的点为,在第一象限.
第6题：
【答案】A
【解析】是水平放置的的直观图,如图所示:所以周长为:,故选A.
第7题：
【答案】C
【解析】∵正方体的体积是， ∴正方体的边长为， ∴正方体的外接球的半径， ∴正方体的外接球的表面积.
第8题：
【答案】B
【解析】若和方向相同，则； 若和方向相反，则.
第9题：
【答案】A,D
【解析】在复平面内对应的点的坐标为,.
第10题：
【答案】A,C
【解析】∵在正方体中,,,分别是,,的中点, ∴,∵,∴, ∵平面,平面,∴平面,故A正确; ∵,与平面相交,∴与平面相交,故B错误; ∵,,分别是,,的中点, ∴,∵平面,平面, ∴平面,故C正确; ∵与平面相交,∴平面与平面相交,故D错误. 故选:AC.
第11题：
【答案】B,C
【解析】∵,∴,即
第12题：
【答案】A,B,D
【解析】A,B中平行,D中直线与相交(或),即直线与共面,均不满足条件;C中的直线与是两条既不平行,又不相交的直线,即直线与是异面直线.
第13题：
【答案】
【解析】由,得,∴,则.
第14题：
【答案】平行
【解析】根据面面平行的性质定理.
第15题：
【答案】
【解析】由条件知与的夹角为，.
第16题：
【答案】平行或异面
【解析】在正方体中，平面，平面，平面，与平行，与异面， ∴，为直线，为平面，，， 则与之间的关系是平行或异面． 故答案为：平行或异面．
第17题：
【解析】(1)=； (2).
第18题：
【解析】由题意． ∵，∴，即， ∴， ∴，∴..．
第19题：
【解析】（1）当，即时，复数是虚数； （2）当，即时，复数是虚数； （3）当，且时，即时，复数是纯虚数.
第20题：
【解析】证明：在中，分别是的中点， ∴.又，∴. ∵平面，平面， ∴平面.
第21题：
【解析】（1）取中点，连接，, 则为中位线，所以且,中点,所以且, 所以且,所以四边形为平行四边形， 得， 因为面,所以面． （2）.
第22题：
【解析】(1) 因为侧棱底面,所以.在矩形中,,又,所以平面,所以. (2) 取的中点,连接.因为分别是的中点, 所以且,所以且,所以四边形是平行四边形, 所以.因为,是的中点,所以,所以. 因为平面,平面,所以,所以. 因为,所以平面.