河北省辛集市高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份河北省辛集市高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分．）
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
3．中，若，，，求三角形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．中，，，，于，，则（ ）
A．6 B． C．3 D．
9．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，且，，若已知，，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．棱长为2的正方体中，，分别是棱和的中点，则经过点，，的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
12．点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
13．已知，，，，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为 D．
14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的表面积最小
15．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
16．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是（ ）
A．平面
B．
C．若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积
D．与平面所成的角为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分．）
17．已知是边长为6的正三角形，求____________.
18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为___________.
19．在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，，那么的最大内角的余弦值为________.
20．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是_________．
四、解答题（本题共4个大题，共50分．）
21．（12分）
在中，，，．
（1）求；
（2）求边上的高．
22．（12分）
的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
23．（12分）
如图.在四棱锥中，，，平面，且，，，、分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
24．（14分）
如图，四边形为矩形，且，，，平面，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）探究在上是否存在点，使得平面，并说明理由.
参考答案
1-5．DAABD 6-10．BDACA 11-12．AB
11．连接，取中点为，可知为等腰三角形，而，，所以为等边三角形，。设
所以当时，上式取最小值，选A.
12．取，中点，，连接、.
则，.又因为.所以平面平面.
又因为动点在正方形（包括边界）内运动，所以点的轨迹为线段.
又因为正方体的棱长为2，所以，.
所以为等腰三角形.
故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为.
当点为中点时，最小，最小值为.故选：B.
13．BD 14．CD 15．BD 16．ABD
16.解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，所以是正方形．所以，平面，所以平面；A正确；
，平面，，平面，平面，所以，B正确；
若是底面圆周上的动点，当时，则的最大面积等于的面积；当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，所以C不正确；
因为，与平面所成的角就是与平面所成角，就是．所以D正确；
故选：ABD．
17． 18． 19． 20．
20．设点在下底面圆周的射影为，连结，则，∴为直线与所成角（或补角），，连结，，，，∴，∴为正三角形，∴，，则直线与所成角大小为.
21．解：（1）在中，∵，∴，
∴．由正弦定理得，
∴．∵，∴，∴．
（2）中，∵．如图所示，在中，∵，∴，∴边上的高为．
22．（1）根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
（2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：
.
又因，，故，
故.故的取值范围是
23．解：（1）证明因为，分别为，的中点，所以；
又因为，所以.从而，，，四点共面；
因为平面，平面.所以，
又因为，，所以平面，从而，
因为，且为的中点，所以；
又因为，所以平面；
（2）如图，连结；由（1）知平面，
所以，为直线在平面内的射影，且，
所以，即为直线与平面所成的角；
在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形；，，在中，；所以，，
在中，，，，所以.
24．（1）连结，∵为的中点，，
∴为等腰直角三角形，
则，同理可得，∴，∴，
又平面，且平面，∴，
又∵，∴平面，又平面，∴.
（2）由（1）知为腰长为1的等腰直角三角形，
∴，而是三棱锥的高，
∴.
（3）在上存在中点，使得平面.理由如下：
取，的中点，，连结，，.
∵，是，的中点，∴，且，
又因为为的中点，且四边形为矩形，所以，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.