云南师大附属高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析）

这是一份云南师大附属高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案与解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数对应的向量如图所示，则复数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．以直角三角形的一边为旋转轴旋转一周所得的旋转体是一个圆锥
C．，是两个不同平面，，是两条不同直线，若，，则，为异面直线
D．是一条直线，，是两个不同平面，若，，则
3．已知，，且，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的平行四边形，其中，，则该直棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，也是很多人儿时美好的童年记忆，陀螺一般为木制的圆锥和圆柱的组合体，上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图是一个陀螺的几何体，由图中所给数据，得该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．球的表面积为，，，为球面上不同的三个点，为的外接圆，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．祖暅原理，“幂势既同，则积不容异”，即高度相等的两个几何体，在任意等高处被一个平面所截，如果截面面积总相等，则两个几何体体积相等．祖在研究《九章算术》中利用该原理解决了“牟合方盖”的体积计算问题，其中重要的思想如下：图1是一个棱长为的正方体，以左下棱和后下棱为轴，棱长为半径作四分之一的圆柱面，两次分割该正方体得到牟合方盖（如图2），图3也为一个棱长为的正方体，为倒立的四棱锥，用一个平面在任意等高处去截图1和图3这两个几何体，袒暅通过计算，发现阴影部分的截面面积总相等，则由祖暅原理，牟合方盖的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．是边长为2的正方形的内切圆内部（含边界）的一动点，且，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．在如图所示的平面四边形中，设，，，若满足，，，与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．平面内任意给定一点和两个不共线的向量，，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，，为非零向量，且，，则下列结论中（ ）
① ②若，则
③若，则 ④
一定成立的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知三个力，，作用在平面内某物体的同一点上，使得该物体保持静止，若，，则（ ）
14．如图，为长方体的中心，截取两个棱锥和的组合体作为装饰物，已知，该组合体的体积为，则该长方体的外接球的体积为________．
15．胡夫金字塔是埃及人智慧的结晶，其形状近似一个正四棱锥，古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积等于金字塔高的平方，则正四棱锥侧面底边上的高与底面边长一半的比值为________．
16．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知为的内角，为坐标原点，复数（为虚数单位），且满足．
（1）求；
（2）复数对应的向量绕逆时针旋转得到，对应的复数为，求．
18．在如图所示的正方体中，，，分别为棱，，的中点
（1）证明：，，，四点共面；
（2）证明：平面平面．
19．已知，，分别为的三个内角，，的对边，且 ．
（1）求；
（2）从以下三个条件：①；②的面积为；③中选一个作为已知条件，求周长的取值范围．
20．仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离 ．（参考数据：，）
（1）求流星发射点近似高度；
（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
21．已知向量，，，且的最小正周期为．
（1）求在上的单调递增区间；
（2）将的图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移个单位得到的图象，已知，，则在上是否存在一点，使得，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
22．在中，，，．
（1）如图1，若在上，且为靠近点的四等分点，且，求；
（2）如图2，，，，，分别为上的2021个点，且满足,求的值．
2020-2021学年下学期期中考试高一数学试题答案
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．由题意知，所以，也可通过复数三角形式的几何意义直接得到结论，故选C．
2．经过不共线的三个点有且只有一个平面，A错；以直角三角形的两条直角边为旋转轴旋转一周所得的旋转体是一个圆锥，B错；直线，可能为异面直线也可能平行，C错；由面面平行的性质可知，D正确，故选D．
3．因为，所以，所以，所以，故选B．
4．法1：由余弦定理，解得或（舍去），所以的面积．
法2：由正弦定理，，得，所以或，因为，所以，
所以，所以所以的面积，故选C．
5．由题意可知，该直棱柱的底面为边长为2的正方形，所以直棱柱的体积，故选D．
6．由该几何体的侧面展开图可知，该几何体的表面积为上圆锥侧面展开图面积和圆柱的侧面展开图面积以及底面圆的面积之和，圆柱侧面展开图面积，底面圆面积为，圆锥侧面展开图扇形面积为，所以几何体的表面积为，故选A．
7．法1：因为，所以为的重心，如图，设为中点，则由重心性质．
法2：因为，所以，，得，故选C．
8．设球的半径，的半径为，则，得，如图所示，设，则，在中，由正弦定理，解得，所以，所以则的面积为，故选C．
9．由祖暅原理可知，四棱锥的体积与图（1）中正方体去掉“牟合方盖”的体积相等，所以牟合方盖的体积为，故选C．
10．法1：几何意义为在方向上的投影与的乘积，由图可知，当与重合时，在上的投影最大，最大值为1，当与重合时，在上的投影最小，最小值为，所以．
法2：如图，以圆的圆心为原点建立如图所示坐标系，则，，，设，则，，则，故选A．
11．设，，，，所以，所以，因为，所以，又因为与的夹角，所以，，，四点共圆，所以最大值为，，，所在圆的直径长，如图，连接，在中，由余弦定理，所以，，，，所在圆即为的外接圆，由正弦定理，得，所以的最大值为，故选B．
12．在仿射坐标系下，设，因为，，所以，，所以，所以，
①正确，若，则，所以
，
，故②不一定正确。因为，所以存在唯一的实数，使得，则，所以，，所以；，由②知，，所以④不一定正确，故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
13．设，有条件知，所以，解得，，所以．
14．设长方体的高为，由题意可知装饰品的体积，解得，设长方体外接球的的半径为，则，解得，所以外接球的体积为．
15．如图，正四棱锥中，为在底面上的投影，设的中点为，正四棱锥的棱长为，，，则由题意①，在中，由勾股定理得②；由①，②消去联立得，同除，得，设，
则，解得，（舍去），所以正四棱锥侧面底边上的高与底面边长的一半的比值为．
16．如图，设，，由题意知，，因为，则，因为，，所以，在中，由正弦定理，，即，得，得到，因为，所以，得到，，其中，所以，，所以面积的最小值为．
三．解答题（共70分）
17．（1）解：，，因为，所以，所以，又因为角为的一个内角，所以，，所以． 3分
所以． 5分
（2）法1：因为，由复数的几何意义，求复数对应的向量逆时针旋转得到，则对应的复数为， 8分
则， 10分
法2：． 6分
由复数三角形式的几何意义． 8分
则． 10分
18．（1）连接，因为为正方体，所以，且，所以四边形为平行四形． 2分
所以，又因为，分别为棱，的中点，所以，所以所以，，，四点共面． 4分
（2）连接，，因为，，分别为棱，，的中点，所以，因为平面，所以平面．7分
同理，因为，且，所以为平行四边形，所以，又因为，所以平面． 10分
又因为，所以平面平面． 12分
19．（1）因为，所以，所以，整理得：，因为，所以，所以，因为，所以． 4分
（2）
若选①，，则． 5分
由正弦定理得， 6分
即的周，
， 10分
因为，所以，，所以，即周长的取值范围是． 12分
若选②的面积为，所以，所以． 5分
由余弦定理，所以，所以． 7分
所以． 11分
当且仅当时，“=”成立，又由几何图形可知，的面积可以趋于无穷大，所以的周长范围是 ． 12分
若选③若，由正弦定理，得，． 6分
因为，所以， 9分
因为，所以，所以，所以，所以，
所以的周长范围是． 12分
20．（1）因为，则，所以为等边角形，所以． 1分
又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得， 解得， 4分
在中，由余弦定理：
． 7分
所以，所以公里． 8分
（2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）． 12分
21．（1）由题意可知
， 2分
因为的最小正周期为，所以，得，所以， 3分
由，解得，所以单调递增区间为，， 4分
又因为，所以和，所以在上的单调增区间为，
． 6分
（2）将的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，得到，再把整个图象向左平移个单位得到， 8分
设，，，则，
，则，若，即，整理得：，因为，所以，所以，所以，而，所以，，此时，则在上存在一点，使得． 12分
22．（1），此时，，则，所以． 5分
（2）由题意可知
；
同理可得：；；，． 7分
所以设①；则②；
则①+②得：
所以，所以
所以． 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
D
A
C
C
C
A
B
B