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甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案与解析）
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这是一份甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案与解析），共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|﹣5≤2x+1≤5），B＝{x|1﹣x≤m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2），则m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
2．已知sinα＝﹣，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
3．已知a＝30.1，b＝ln0.3，c＝2﹣1.4，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
4．抽查8件产品，记“至多有3件次品”为事件A．则事件A的对立事件是（ ）
A．至少有4件次品B．至少有2件次品
C．至多有5件正品D．至少有4件正品
5．已知非零向量，满足||＝2||，且（+3）⊥，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，D，E分别在线段AB，AC上，且＝，＝，点F是线段BE的中点，则＝（ ）
A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣
7．两个具有线性相关性的变量x与y的统计数据如表：
经计算所得的线性回归方程为＝﹣2.8x+，则＝（ ）
A．36B．38C．40D．42
8．一条经过点A（﹣4，2）的入射光线l的斜率为﹣2，若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝6，n＝10，那么输出的k＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．将函数f（x）＝sin2x﹣cs2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象．则下列关于g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．最小值为﹣2
C．图象关于点（，0）中心对称
D．图象关于直线x＝对称
12．函数f（x）＝cs（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调递减，则正整数ω的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某林场新种了一批树苗，其中杉树苗20000棵，松树苗30000棵．为调查树苗的生长情况，按树苗的种类采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中松树苗有60棵，则杉树苗的棵数为 ．
14．若α∈（﹣π，﹣），且sin2α﹣sin2α＝，则tan2α＝ ．
15．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，其中A（﹣，0），B（，0），图象的一个最高点为C（x1，2）．则f（）＝ ．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，给出下列结论：
①A1C1∥平面AB1C；
②异面直线B1C与AA1所成角的大小是；
③球O的表面积是20π；
④点O到平面AB1C的距离是．
其中所有正确结论的序号 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平行四边形ABCD中，．
（1）用，表示；
（2）若AB＝2，AD＝6，且∠BAD＝120°，求．
18．已知sinθ+csθ＝﹣，θ∈[0，π]．
（1）求sinθ﹣csθ，tanθ的值；
（2）求cs（2θ﹣）的值．
19．某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球，2个白球）的抽奖箱中，随机抽出2个球，若抽到2个白球，则获得一等奖；若抽到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖．
（1）求某顾客获得二等奖的概率；
（2）求某顾客不获奖的概率．
20．（1）求经过点A（2，5），点B（2，3），且圆心在直线y＝2x﹣4上的圆的方程；
（2）已知圆C上的点D（2，4）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆C上，圆C的面积为25π，圆心C在第二象限，且直线3x﹣4y﹣5＝0与圆C相交于E，F两点，求|EF|．
21．某工厂生产了1000件产品，为了了解这批产品的质量情况，从中随机抽取100件作为样本，测出它们的某一项质量指数按数据分成[10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]，（18，20]，（20，22]，（22，24]7组，得到如图所示的额率分布直方图．已知当该产品的质量指数在（16，18]内时，该产品为一等品，每件可获利12元；当该产品的质量指数在（14，16]或（18，20]内时，该产品为二等品，每件可获利10元；当该产品的质量指数在（12，14]或（20，22]内时，该产品为合格品，每件可获利8元；当该产品的质量指数在[10，12]或（22，24]内时，该产品为不合格品，每件亏损6元．
（1）估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量；
（2）估计这批产品的总利润．
22．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数，若在（0，m）内存在唯一的x0，使得g（x）≥g（x0）对x∈R恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|﹣5≤2x+1≤5），B＝{x|1﹣x≤m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2），则m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
解：∵A＝{x|﹣3≤x≤2），B＝{x|x≥1﹣m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，
∴1﹣m＝﹣1，解得m＝2．
故选：A．
2．已知sinα＝﹣，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
解：∵sinα＝﹣，
∴．
故选：D．
3．已知a＝30.1，b＝ln0.3，c＝2﹣1.4，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
解：由指数函数、对数函数的性质可得，
30.1＞30＝1，ln0.3＜ln1＝0，0＜2﹣1.4＜20＝1，
∴a＞c＞b，
故选：D．
4．抽查8件产品，记“至多有3件次品”为事件A．则事件A的对立事件是（ ）
A．至少有4件次品B．至少有2件次品
C．至多有5件正品D．至少有4件正品
解：根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，
故事件A的对立事件为：至少有4件次品，
故选：A．
5．已知非零向量，满足||＝2||，且（+3）⊥，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
解：设与的夹角为θ，
因为，
所以，即．
所以
根据题意，有，
因为，所以解得，
即．
故选：B．
6．在△ABC中，D，E分别在线段AB，AC上，且＝，＝，点F是线段BE的中点，则＝（ ）
A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣
解：＝﹣＝+＝（﹣）+＝+＝×+＝+
故选：A．
7．两个具有线性相关性的变量x与y的统计数据如表：
经计算所得的线性回归方程为＝﹣2.8x+，则＝（ ）
A．36B．38C．40D．42
解：由题意可得，，
，
将代入线性回归方程＝﹣2.8x+，解得＝36．
故选：A．
8．一条经过点A（﹣4，2）的入射光线l的斜率为﹣2，若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
解：设直线l与x轴交于点C，因为l的方程为y﹣2＝﹣2（x+4），所以点C的坐标为（﹣3，0），
从而反射光线所在直线的方程为y＝2（x+3），易求B（0，6），
所以AOB的面积为 ，
故选：B．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝6，n＝10，那么输出的k＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
解：模拟执行程序，可得
m＝6，n＝10，k＝0，s＝0
执行循环体，m＝4，n＝6，m＝10，s＝10，k＝1
不满足条件s＞30，执行循环体，m＝﹣4，n＝10，m＝6，s＝16，k＝2，
不满足条件s＞30，执行循环体，m＝4，n＝6，m＝10，s＝26，k＝3，
不满足条件s＞30，执行循环体，m＝﹣4，n＝10，m＝6，s＝32，k＝4，
满足条件s＞30，退出循环，输出k的值为4．
故选：B．
10．将函数f（x）＝sin2x﹣cs2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象．则下列关于g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．最小值为﹣2
C．图象关于点（，0）中心对称
D．图象关于直线x＝对称
解：将函数f（x）＝sin2x﹣cs2x＝ sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，
得到函数g（x）＝ sin（2x+）的图象，
显然，g（x）的最小正周期为＝π，故A错误；
由于g（x）的最小值为﹣，故B错误；
令x＝，求得g（x）＝﹣1，故g（x）的图象不关于点（，0）中心对称，故C错误；
令x＝，求得g（x）＝﹣，为最小值，故g（x）的图象关于直线x＝对称，故D正确，
故选：D．
12．函数f（x）＝cs（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调递减，则正整数ω的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵函数f（x）＝cs（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调递减，
∴2kπ＜ω•+＜ω•+＜2kπ+π，k∈Z，
求得ω＞k﹣，且ω＜k+1．
令k＝1，可得 ＜ω＜，则正整数ω的最大值为3，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某林场新种了一批树苗，其中杉树苗20000棵，松树苗30000棵．为调查树苗的生长情况，按树苗的种类采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中松树苗有60棵，则杉树苗的棵数为 40 ．
解：设杉树苗的棵数为x，由题意可得＝，求得x＝40，
故答案为：40．
14．若α∈（﹣π，﹣），且sin2α﹣sin2α＝，则tan2α＝ ﹣ ．
解：∵sin2α﹣sin2α＝＝，
∴9tan2α﹣34tanα﹣8＝0，解得tanα＝4或，
∵α∈（﹣π，﹣），
∴tanα＝4，
∴．
故答案为：．
15．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，其中A（﹣，0），B（，0），图象的一个最高点为C（x1，2）．则f（）＝ ﹣ ．
解：由函数的图象可得A＝2，T＝2（﹣（﹣））＝π，所以ω＝＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ）．
由五点作图法可得2×（﹣）+φ＝0，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+），
所以f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2sin（6π﹣）＝﹣2sin＝﹣．
故答案为：﹣．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，给出下列结论：
①A1C1∥平面AB1C；
②异面直线B1C与AA1所成角的大小是；
③球O的表面积是20π；
④点O到平面AB1C的距离是．
其中所有正确结论的序号 ①③④ ．
解：如图，由题意知：A1C1||AC，因为AC⊂平面AB1C，A1C1⊈平面AB1C，所以A1C1||平面AB1C，故①正确；
因为AA1||CC1，所以∠B1CC1是异面直线B1C与AA1所成的角，因为AB＝AA1＝2，所以，
所以∠B1CC1＝，故②错误；
设△A1B1C1外接圆的圆心为O1，连接OO1，O1C1，OC1，由题意知：，，则球O的半径为，
从而球O的表面积为，故③正确；
设△AB1C外接圆的半径为r，由题意知：，则，由正弦定理可得：，则
点O到平面AB1C的距离，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平行四边形ABCD中，．
（1）用，表示；
（2）若AB＝2，AD＝6，且∠BAD＝120°，求．
解：（1）；
（2）因为，
所以＝．
18．已知sinθ+csθ＝﹣，θ∈[0，π]．
（1）求sinθ﹣csθ，tanθ的值；
（2）求cs（2θ﹣）的值．
解：（1）∵sinθ+csθ＝﹣，
∴（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＝1+，
∴，
∵θ∈[0，π]，2sinθcsθ＝＜0，
∴，sinθ﹣csθ＞0，
∴sinθ﹣csθ＝＝，
联立，解得sinθ＝，csθ＝，
∴．
（2）∵sinθ＝，csθ＝，
∴sin2θ＝2sinθcsθ＝2×，
cs2θ＝，
∴cs（2θ﹣）＝cs2θcs+＝．
19．某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球，2个白球）的抽奖箱中，随机抽出2个球，若抽到2个白球，则获得一等奖；若抽到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖．
（1）求某顾客获得二等奖的概率；
（2）求某顾客不获奖的概率．
解：（1）记3个红球为a，b，c，2个白球为d，e，
从这5个小球中抽取2个的情况有：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，
其中抽到1个白球和1个红球的情况有：
ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种，
∴某顾客获得二等奖的概率为P＝．
（2）其中抽取2个红球的情况有：ab，ac，bc，共3种，
∴某顾客不获奖的概率为P＝．
20．（1）求经过点A（2，5），点B（2，3），且圆心在直线y＝2x﹣4上的圆的方程；
（2）已知圆C上的点D（2，4）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆C上，圆C的面积为25π，圆心C在第二象限，且直线3x﹣4y﹣5＝0与圆C相交于E，F两点，求|EF|．
解：（1）设圆心为M，
因为所求的圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的中垂线上，线段AB的中垂线方程为y＝4，
联立，解得，即圆心M的坐标为（4，4）．
因为MA2＝（4﹣2）2+（4﹣5）2＝5，
所以圆M的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．
（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为圆C上的点D（2，4）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆C上，
所以直线x+2y＝0经过圆心C，因此a+2b＝0．
又圆C的面积为25π，所以r2＝25．
因为点D（2，4）在圆C上，所以（2﹣a）2+（4﹣b）2＝25．
把a+2b＝0代入（2﹣a）2+（4﹣b）2＝25，消去a并整理得5b2＝25，解得b＝±1，
又圆心C在第二象限，所以b＝1，从而a＝﹣2，即C（﹣2，1）．
因为点C到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离，
所以|EF|＝．
21．某工厂生产了1000件产品，为了了解这批产品的质量情况，从中随机抽取100件作为样本，测出它们的某一项质量指数按数据分成[10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]，（18，20]，（20，22]，（22，24]7组，得到如图所示的额率分布直方图．已知当该产品的质量指数在（16，18]内时，该产品为一等品，每件可获利12元；当该产品的质量指数在（14，16]或（18，20]内时，该产品为二等品，每件可获利10元；当该产品的质量指数在（12，14]或（20，22]内时，该产品为合格品，每件可获利8元；当该产品的质量指数在[10，12]或（22，24]内时，该产品为不合格品，每件亏损6元．
（1）估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量；
（2）估计这批产品的总利润．
解：（1）由题意可得这批产品中不合格品的频率为（0.02+0.03）×2＝0.1，
则该工厂生产的这批产品中不合格品的数量为0.1×10000＝1000件．
（2）由题意可得这批产品一等品的频率为0.13×2＝0.26，
产品数量为0.26×10000＝2600件，
二等品的频率为（0.10+0.09）×2＝0.38，新产品数量为0.38×10000＝3800件，
合格品的频率为（0.06+0.07）×2＝0.26，产品数量为0.26×10000＝2600件，
故这批产品的总利润为2600×12+3800×10+2600×8﹣1000×6＝84000元．
22．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数，若在（0，m）内存在唯一的x0，使得g（x）≥g（x0）对x∈R恒成立，求m的取值范围．
解：（1）根据图象可得，
∴T＝π，
∵，ω＞0，
∴ω＝2．
又∵图象过点，
∴A＝3，
∴，
∴，k∈Z，即，k∈Z，
又∵，
∴．
故．
（2）∵，
∴．
依题意可得g（x）min＝g（x0），
又∵，
∴，解得．
x
11
10.5
10
9.5
9
y
5
7
8
9
11
x
11
10.5
10
9.5
9
y
5
7
8
9
11
1．已知集合A＝{x|﹣5≤2x+1≤5），B＝{x|1﹣x≤m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2），则m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
2．已知sinα＝﹣，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
3．已知a＝30.1，b＝ln0.3，c＝2﹣1.4，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
4．抽查8件产品，记“至多有3件次品”为事件A．则事件A的对立事件是（ ）
A．至少有4件次品B．至少有2件次品
C．至多有5件正品D．至少有4件正品
5．已知非零向量，满足||＝2||，且（+3）⊥，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，D，E分别在线段AB，AC上，且＝，＝，点F是线段BE的中点，则＝（ ）
A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣
7．两个具有线性相关性的变量x与y的统计数据如表：
经计算所得的线性回归方程为＝﹣2.8x+，则＝（ ）
A．36B．38C．40D．42
8．一条经过点A（﹣4，2）的入射光线l的斜率为﹣2，若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝6，n＝10，那么输出的k＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．将函数f（x）＝sin2x﹣cs2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象．则下列关于g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．最小值为﹣2
C．图象关于点（，0）中心对称
D．图象关于直线x＝对称
12．函数f（x）＝cs（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调递减，则正整数ω的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某林场新种了一批树苗，其中杉树苗20000棵，松树苗30000棵．为调查树苗的生长情况，按树苗的种类采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中松树苗有60棵，则杉树苗的棵数为 ．
14．若α∈（﹣π，﹣），且sin2α﹣sin2α＝，则tan2α＝ ．
15．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，其中A（﹣，0），B（，0），图象的一个最高点为C（x1，2）．则f（）＝ ．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，给出下列结论：
①A1C1∥平面AB1C；
②异面直线B1C与AA1所成角的大小是；
③球O的表面积是20π；
④点O到平面AB1C的距离是．
其中所有正确结论的序号 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平行四边形ABCD中，．
（1）用，表示；
（2）若AB＝2，AD＝6，且∠BAD＝120°，求．
18．已知sinθ+csθ＝﹣，θ∈[0，π]．
（1）求sinθ﹣csθ，tanθ的值；
（2）求cs（2θ﹣）的值．
19．某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球，2个白球）的抽奖箱中，随机抽出2个球，若抽到2个白球，则获得一等奖；若抽到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖．
（1）求某顾客获得二等奖的概率；
（2）求某顾客不获奖的概率．
20．（1）求经过点A（2，5），点B（2，3），且圆心在直线y＝2x﹣4上的圆的方程；
（2）已知圆C上的点D（2，4）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆C上，圆C的面积为25π，圆心C在第二象限，且直线3x﹣4y﹣5＝0与圆C相交于E，F两点，求|EF|．
21．某工厂生产了1000件产品，为了了解这批产品的质量情况，从中随机抽取100件作为样本，测出它们的某一项质量指数按数据分成[10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]，（18，20]，（20，22]，（22，24]7组，得到如图所示的额率分布直方图．已知当该产品的质量指数在（16，18]内时，该产品为一等品，每件可获利12元；当该产品的质量指数在（14，16]或（18，20]内时，该产品为二等品，每件可获利10元；当该产品的质量指数在（12，14]或（20，22]内时，该产品为合格品，每件可获利8元；当该产品的质量指数在[10，12]或（22，24]内时，该产品为不合格品，每件亏损6元．
（1）估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量；
（2）估计这批产品的总利润．
22．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数，若在（0，m）内存在唯一的x0，使得g（x）≥g（x0）对x∈R恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|﹣5≤2x+1≤5），B＝{x|1﹣x≤m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2），则m＝（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
解：∵A＝{x|﹣3≤x≤2），B＝{x|x≥1﹣m}，且A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}，
∴1﹣m＝﹣1，解得m＝2．
故选：A．
2．已知sinα＝﹣，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
解：∵sinα＝﹣，
∴．
故选：D．
3．已知a＝30.1，b＝ln0.3，c＝2﹣1.4，则（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．a＞c＞b
解：由指数函数、对数函数的性质可得，
30.1＞30＝1，ln0.3＜ln1＝0，0＜2﹣1.4＜20＝1，
∴a＞c＞b，
故选：D．
4．抽查8件产品，记“至多有3件次品”为事件A．则事件A的对立事件是（ ）
A．至少有4件次品B．至少有2件次品
C．至多有5件正品D．至少有4件正品
解：根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，
故事件A的对立事件为：至少有4件次品，
故选：A．
5．已知非零向量，满足||＝2||，且（+3）⊥，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
解：设与的夹角为θ，
因为，
所以，即．
所以
根据题意，有，
因为，所以解得，
即．
故选：B．
6．在△ABC中，D，E分别在线段AB，AC上，且＝，＝，点F是线段BE的中点，则＝（ ）
A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣
解：＝﹣＝+＝（﹣）+＝+＝×+＝+
故选：A．
7．两个具有线性相关性的变量x与y的统计数据如表：
经计算所得的线性回归方程为＝﹣2.8x+，则＝（ ）
A．36B．38C．40D．42
解：由题意可得，，
，
将代入线性回归方程＝﹣2.8x+，解得＝36．
故选：A．
8．一条经过点A（﹣4，2）的入射光线l的斜率为﹣2，若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
解：设直线l与x轴交于点C，因为l的方程为y﹣2＝﹣2（x+4），所以点C的坐标为（﹣3，0），
从而反射光线所在直线的方程为y＝2（x+3），易求B（0，6），
所以AOB的面积为 ，
故选：B．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝6，n＝10，那么输出的k＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
解：模拟执行程序，可得
m＝6，n＝10，k＝0，s＝0
执行循环体，m＝4，n＝6，m＝10，s＝10，k＝1
不满足条件s＞30，执行循环体，m＝﹣4，n＝10，m＝6，s＝16，k＝2，
不满足条件s＞30，执行循环体，m＝4，n＝6，m＝10，s＝26，k＝3，
不满足条件s＞30，执行循环体，m＝﹣4，n＝10，m＝6，s＝32，k＝4，
满足条件s＞30，退出循环，输出k的值为4．
故选：B．
10．将函数f（x）＝sin2x﹣cs2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象．则下列关于g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．最小值为﹣2
C．图象关于点（，0）中心对称
D．图象关于直线x＝对称
解：将函数f（x）＝sin2x﹣cs2x＝ sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，
得到函数g（x）＝ sin（2x+）的图象，
显然，g（x）的最小正周期为＝π，故A错误；
由于g（x）的最小值为﹣，故B错误；
令x＝，求得g（x）＝﹣1，故g（x）的图象不关于点（，0）中心对称，故C错误；
令x＝，求得g（x）＝﹣，为最小值，故g（x）的图象关于直线x＝对称，故D正确，
故选：D．
12．函数f（x）＝cs（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调递减，则正整数ω的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵函数f（x）＝cs（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调递减，
∴2kπ＜ω•+＜ω•+＜2kπ+π，k∈Z，
求得ω＞k﹣，且ω＜k+1．
令k＝1，可得 ＜ω＜，则正整数ω的最大值为3，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某林场新种了一批树苗，其中杉树苗20000棵，松树苗30000棵．为调查树苗的生长情况，按树苗的种类采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中松树苗有60棵，则杉树苗的棵数为 40 ．
解：设杉树苗的棵数为x，由题意可得＝，求得x＝40，
故答案为：40．
14．若α∈（﹣π，﹣），且sin2α﹣sin2α＝，则tan2α＝ ﹣ ．
解：∵sin2α﹣sin2α＝＝，
∴9tan2α﹣34tanα﹣8＝0，解得tanα＝4或，
∵α∈（﹣π，﹣），
∴tanα＝4，
∴．
故答案为：．
15．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，其中A（﹣，0），B（，0），图象的一个最高点为C（x1，2）．则f（）＝ ﹣ ．
解：由函数的图象可得A＝2，T＝2（﹣（﹣））＝π，所以ω＝＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ）．
由五点作图法可得2×（﹣）+φ＝0，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+），
所以f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2sin（6π﹣）＝﹣2sin＝﹣．
故答案为：﹣．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，给出下列结论：
①A1C1∥平面AB1C；
②异面直线B1C与AA1所成角的大小是；
③球O的表面积是20π；
④点O到平面AB1C的距离是．
其中所有正确结论的序号 ①③④ ．
解：如图，由题意知：A1C1||AC，因为AC⊂平面AB1C，A1C1⊈平面AB1C，所以A1C1||平面AB1C，故①正确；
因为AA1||CC1，所以∠B1CC1是异面直线B1C与AA1所成的角，因为AB＝AA1＝2，所以，
所以∠B1CC1＝，故②错误；
设△A1B1C1外接圆的圆心为O1，连接OO1，O1C1，OC1，由题意知：，，则球O的半径为，
从而球O的表面积为，故③正确；
设△AB1C外接圆的半径为r，由题意知：，则，由正弦定理可得：，则
点O到平面AB1C的距离，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平行四边形ABCD中，．
（1）用，表示；
（2）若AB＝2，AD＝6，且∠BAD＝120°，求．
解：（1）；
（2）因为，
所以＝．
18．已知sinθ+csθ＝﹣，θ∈[0，π]．
（1）求sinθ﹣csθ，tanθ的值；
（2）求cs（2θ﹣）的值．
解：（1）∵sinθ+csθ＝﹣，
∴（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＝1+，
∴，
∵θ∈[0，π]，2sinθcsθ＝＜0，
∴，sinθ﹣csθ＞0，
∴sinθ﹣csθ＝＝，
联立，解得sinθ＝，csθ＝，
∴．
（2）∵sinθ＝，csθ＝，
∴sin2θ＝2sinθcsθ＝2×，
cs2θ＝，
∴cs（2θ﹣）＝cs2θcs+＝．
19．某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球，2个白球）的抽奖箱中，随机抽出2个球，若抽到2个白球，则获得一等奖；若抽到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖．
（1）求某顾客获得二等奖的概率；
（2）求某顾客不获奖的概率．
解：（1）记3个红球为a，b，c，2个白球为d，e，
从这5个小球中抽取2个的情况有：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，
其中抽到1个白球和1个红球的情况有：
ad，ae，bd，be，cd，ce，共6种，
∴某顾客获得二等奖的概率为P＝．
（2）其中抽取2个红球的情况有：ab，ac，bc，共3种，
∴某顾客不获奖的概率为P＝．
20．（1）求经过点A（2，5），点B（2，3），且圆心在直线y＝2x﹣4上的圆的方程；
（2）已知圆C上的点D（2，4）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆C上，圆C的面积为25π，圆心C在第二象限，且直线3x﹣4y﹣5＝0与圆C相交于E，F两点，求|EF|．
解：（1）设圆心为M，
因为所求的圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的中垂线上，线段AB的中垂线方程为y＝4，
联立，解得，即圆心M的坐标为（4，4）．
因为MA2＝（4﹣2）2+（4﹣5）2＝5，
所以圆M的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．
（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为圆C上的点D（2，4）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆C上，
所以直线x+2y＝0经过圆心C，因此a+2b＝0．
又圆C的面积为25π，所以r2＝25．
因为点D（2，4）在圆C上，所以（2﹣a）2+（4﹣b）2＝25．
把a+2b＝0代入（2﹣a）2+（4﹣b）2＝25，消去a并整理得5b2＝25，解得b＝±1，
又圆心C在第二象限，所以b＝1，从而a＝﹣2，即C（﹣2，1）．
因为点C到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离，
所以|EF|＝．
21．某工厂生产了1000件产品，为了了解这批产品的质量情况，从中随机抽取100件作为样本，测出它们的某一项质量指数按数据分成[10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]，（18，20]，（20，22]，（22，24]7组，得到如图所示的额率分布直方图．已知当该产品的质量指数在（16，18]内时，该产品为一等品，每件可获利12元；当该产品的质量指数在（14，16]或（18，20]内时，该产品为二等品，每件可获利10元；当该产品的质量指数在（12，14]或（20，22]内时，该产品为合格品，每件可获利8元；当该产品的质量指数在[10，12]或（22，24]内时，该产品为不合格品，每件亏损6元．
（1）估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量；
（2）估计这批产品的总利润．
解：（1）由题意可得这批产品中不合格品的频率为（0.02+0.03）×2＝0.1，
则该工厂生产的这批产品中不合格品的数量为0.1×10000＝1000件．
（2）由题意可得这批产品一等品的频率为0.13×2＝0.26，
产品数量为0.26×10000＝2600件，
二等品的频率为（0.10+0.09）×2＝0.38，新产品数量为0.38×10000＝3800件，
合格品的频率为（0.06+0.07）×2＝0.26，产品数量为0.26×10000＝2600件，
故这批产品的总利润为2600×12+3800×10+2600×8﹣1000×6＝84000元．
22．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数，若在（0，m）内存在唯一的x0，使得g（x）≥g（x0）对x∈R恒成立，求m的取值范围．
解：（1）根据图象可得，
∴T＝π，
∵，ω＞0，
∴ω＝2．
又∵图象过点，
∴A＝3，
∴，
∴，k∈Z，即，k∈Z，
又∵，
∴．
故．
（2）∵，
∴．
依题意可得g（x）min＝g（x0），
又∵，
∴，解得．
x
11
10.5
10
9.5
9
y
5
7
8
9
11
x
11
10.5
10
9.5
9
y
5
7
8
9
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