青海省西宁市大通县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案与解析）

这是一份青海省西宁市大通县2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案与解析），共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．不等式x2﹣x+2＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，2）D．∅
2．有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖．
其中必然事件是（ ）
A．②B．③C．①②③D．②③
3．在数列{an}中，an＝﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（ ）
A．103B．C．D．108
4．已知一个三角形的三边长分别是2，3，4，如图是用秦九韶算法设计的一个求此三角形面积算法程序框图，则图中所缺的内容是（ ）
A．p＝a+b+cB．p＝
C．p＝D．p＝
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有下列关系式：
①asinB＝bsinA；②a＝bcsC+ccsB；③b＝csinA+asinC．
其中一定成立的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．将编号为001，002，003，…，500的500个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样的方法抽取样本，若第一组抽取的编号是007，第二组抽取的编号是032，则样本中最大的编号应该是（ ）
A．475B．482C．487D．492
7．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣4D．﹣1
8．设数列{an}满足2an＝an+1（n∈N*，an≠0），且前n项和为Sn，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥
B．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
C．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16
D．取一根3米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于1米的概率是
10．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是：取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．如图所示，图1中有0个白色三角形，图2中有1个白色三角形，图3中有4个白色三角形，…，依此类推，可以判断图4中白色小三角形的个数为（ ）
A．10B．12C．13D．14
11．如图，把7m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足3m的地面上，另一端在沿堤向上5m的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高（≈1.732，结果保留两位小数）为（ ）
A．4.22mB．4.30mC．4.33mD．4.40m
12．有面积相等的四个游戏盘，如果投针落在阴影部分可中奖．小强希望中奖，那么他应选择的游戏盘为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正数a，b满足，则2b+a的最小值为 ．
14．如图，小明在山脚A测得山顶D的仰角为45°，在山脚B测得山顶D的仰角为30°，测得∠ABC＝30°，A，B间的距离为100m，BC＞AB，已知山脚C和A，B在同一水平面上，则山的高度CD＝ m．
15．“关注夕阳，爱老敬老”﹣﹣某协会从2015年开始每年向敬老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2015年是第一年）与捐赠的现金y（万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程为，则预测2021年捐赠的现金大约是 万元．
16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2bcsB＝（acsC+ccsA），b＝2，则△ABC面积的最大值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．根据下列条件，求相应的未知数．
（1）在等差数列{an}中，a1＝1，a3+a5＝14，前n项和Sn＝100，求公差d及项数n；
（2）在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，求a1和公比q．
18．投掷一颗骰子2次，求投出的点数之和为10的概率．
19．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单：万元）的散点图如图所示．
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若该企业有一笔50万元的资金用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应投资哪个项目？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
20．已知{an}是公差为2的等差数列，且a1+a2＝a3，{bn}公比为3的等比数列，且b1＝．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
21．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人．如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表．
（1）求该校高二学生的总数；
（2）求频率分布表中实数x，y，z的值；
（3）已知日睡眠时间在区间[6，6.5）内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率．
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin2B+bsinA＝0，角B的平分线交AC于点D，BD＝2．
（1）求角B的大小；
（2）证明：．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．不等式x2﹣x+2＜0的解集为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，2）D．∅
解：不等式x2﹣x+2＜0对应方程x2﹣x+2＝0中，△＝1﹣8＝﹣7＜0，
且二次项系数为正，所以不等式x2﹣x+2＜0的解集为空集．
故选：D．
2．有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖．
其中必然事件是（ ）
A．②B．③C．①②③D．②③
解：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾，是不可能事件，
②实数的绝对值不小于零，是必然事件；
③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖，是随机事件
所以其中是必然事件的为②．
故选：A．
3．在数列{an}中，an＝﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（ ）
A．103B．C．D．108
解：an＝﹣2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n＝﹣＝＝7，
∵n是整数，
∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝﹣2×72+29×7+3＝108，
故选：D．
4．已知一个三角形的三边长分别是2，3，4，如图是用秦九韶算法设计的一个求此三角形面积算法程序框图，则图中所缺的内容是（ ）
A．p＝a+b+cB．p＝
C．p＝D．p＝
解：模拟程序的运行，可得图中所缺的内容应该是计算p的取值，
所以应该p＝．
故选：B．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有下列关系式：
①asinB＝bsinA；②a＝bcsC+ccsB；③b＝csinA+asinC．
其中一定成立的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有下列关系式：
对于①，由正弦定理：，整理得asinB＝bsinA；故①成立；
对于②，a＝bcsC+ccsB；利用正弦定理：sinA＝sinBcsC+sinCcsB＝sin（A+B）＝sinA，
故②成立．
对于③，b＝csinA+asinC，利用正弦定理：sinB＝sinCsinA+sinAsinC＝2sinAsinC，故③不成立．
故选：C．
6．将编号为001，002，003，…，500的500个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样的方法抽取样本，若第一组抽取的编号是007，第二组抽取的编号是032，则样本中最大的编号应该是（ ）
A．475B．482C．487D．492
解：根据系统抽样的特点，由第一组抽取的编号是007，第二组抽取的编号是032，
得样本间隔为32﹣7＝25，共抽取样本数为500÷25＝20，
则最大的编号为7+19×25＝482，
故选：B．
7．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣4D．﹣1
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣3，﹣6），
化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3×3+6＝﹣3．
故选：A．
8．设数列{an}满足2an＝an+1（n∈N*，an≠0），且前n项和为Sn，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：由题意知：数列{an}是以2为公比的等比数列，
所以，
故选：A．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥
B．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
C．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16
D．取一根3米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于1米的概率是
解：对于选项A，“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生，故A选项正确，
对于选项B，每一次出现正面朝上的概率相等都是．故B选项正确，
对于选项C，样本数据x1，x2，…，x10，其标准差，则s2＝64，而样本数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为22×64，其标准差为．故C选项正确，
对于选项D，记事件A＝“剪得的两段的长度都不小于1米”，要想剪得的两段的长度都不小于1米，则剪断的地方只能位于中间长度为1米的部分，所以．故D选项错误．
故选：D．
10．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是：取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．如图所示，图1中有0个白色三角形，图2中有1个白色三角形，图3中有4个白色三角形，…，依此类推，可以判断图4中白色小三角形的个数为（ ）
A．10B．12C．13D．14
解：法一：由图可得图1中有0个白色三角形，图2中有1个白色三角形，图3中有4＝1+3个白色三角形，…，依此类推，结合图像变化可得第n个图形中共有1+3+3×3+...+3n﹣2个白色小三角形，
故图4中白色小三角形的个数为1+3+3²＝13个．
法二：根据所给图像，作出图4图像如图所示，故可得有13个白色小三角形，
故选：C．
11．如图，把7m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足3m的地面上，另一端在沿堤向上5m的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高（≈1.732，结果保留两位小数）为（ ）
A．4.22mB．4.30mC．4.33mD．4.40m
解：设石堤对地面的倾斜角为α，由余弦定理可得cs（π﹣α）＝＝﹣，
故csα＝，则sinα＝＝，
则石堤的高为5×≈5×0.866≈4.33（m）．
故选：C．
12．有面积相等的四个游戏盘，如果投针落在阴影部分可中奖．小强希望中奖，那么他应选择的游戏盘为（ ）
A．B．
C．D．
解：对于A，游戏盘的中奖概率为，
对于B，游戏盘的中奖概率为＝，
对于C，游戏盘的中奖概率为＝，
对于D，游戏盘的中奖概率为＝，
∵D游戏盘的中奖概率最大，∴他应选择的游戏盘为D．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正数a，b满足，则2b+a的最小值为 ．
解：根据题意，正数a，b满足，
则2b+a＝2b+b+＝3b+≥2＝2，
当且仅当b＝时等号成立；
即2b+a的最小值为；
故答案为：2．
14．如图，小明在山脚A测得山顶D的仰角为45°，在山脚B测得山顶D的仰角为30°，测得∠ABC＝30°，A，B间的距离为100m，BC＞AB，已知山脚C和A，B在同一水平面上，则山的高度CD＝ 100 m．
解：在△BCD中，设CD＝x，
利用解直角三角形知识BC＝，
在△ACD中，AC＝＝x，
在△BAC中，利用余弦定理，
解得x＝100或50，
当x＝50时，BC＝50＜AB，不合题意，
故CD＝100m．
故答案为：100m
15．“关注夕阳，爱老敬老”﹣﹣某协会从2015年开始每年向敬老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2015年是第一年）与捐赠的现金y（万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程为，则预测2021年捐赠的现金大约是 5.25 万元．
解：由已知得，，，
所以样本的中心点为（4.5，3.5），
将其代入，得3.5＝4.5×0.7+m，即m＝0.35，
所以，
取x＝7，得，
所以预测2021年捐赠的现金大约是5.25万元．
故答案为：5.25．
16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2bcsB＝（acsC+ccsA），b＝2，则△ABC面积的最大值是 +1． ．
解：∵2bcsB＝（acsC+ccsA），
由正弦定理可得2sinBcsB＝（sinAcsC+sinCcsA）＝sinB，
∵sinB≠0，∴csB＝．则B＝45°，
由余弦定理可得ac＝a2+c2﹣4，
∴由基本不等式可得ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，可得：（2﹣）ac≤4，
即有ac≤4+2，当且仅当a＝c时，“＝”成立，
∴从而△ABC面积S＝acsinB＝×（4+2）×＝+1，
故△ABC面积的最大值为+1．
故答案为：+1．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．根据下列条件，求相应的未知数．
（1）在等差数列{an}中，a1＝1，a3+a5＝14，前n项和Sn＝100，求公差d及项数n；
（2）在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，求a1和公比q．
解：（1）根据题意得，解得，
∵Sn＝100，∴n×1+＝100，
解得：n＝10；
（2），解得或．
18．投掷一颗骰子2次，求投出的点数之和为10的概率．
解：记事件A为投出的点数之和为10，
投掷一颗骰子2次，基本事件总数为62＝36，
点数之和为10包含了4+6，5+5，6+4这3个基本事件，
故P（A）＝．
19．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单：万元）的散点图如图所示．
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若该企业有一笔50万元的资金用于投资A，B两个项目中的一个，为了收益最大化，应投资哪个项目？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
解：（1）由散点图可知，x取1，2，3，4，5时，y的值分别为2，3，5，7，8．所以．
，则．
故y关于x的线性回归方程为．
（2）若投资A项目，则该企业所得纯利润为万元；
若投资B项目，则该企业所得纯利润为万元；
因为8＜8.2，所以投资B项目收益最大．
20．已知{an}是公差为2的等差数列，且a1+a2＝a3，{bn}公比为3的等比数列，且b1＝．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
解：（1）{an}是公差为d＝2的等差数列，
由a1+a2＝a3，可得2a1+2＝a1+4，解得a1＝2，
所以an＝2n；
{bn}公比为q＝3的等比数列，由b1＝，可得b1＝3，
所以bn＝3n；
（2）cn＝an•bn＝2n•3n，
所以Sn＝2•3+4•32+...+2n•3n，①
3Sn＝2•32+4•33+...+2n•3n+1，②
由①﹣②可得﹣2Sn＝2（3+32+...+3n）﹣2n•3n+1＝3（3n﹣1）﹣2n•3n+1，
所以Sn＝+．
21．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人．如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表．
（1）求该校高二学生的总数；
（2）求频率分布表中实数x，y，z的值；
（3）已知日睡眠时间在区间[6，6.5）内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率．
解：（1）设该校高二学生总数为n，
由题意＝，
解得n＝600，
∴该校高二学生的总数为600人．
（2）由题意＝0.2，解得z＝10，
x＝50﹣5﹣7﹣12﹣10﹣8＝8，
y＝＝0.16．
（3）记”选中的3人恰好为两男一女“为事件A，
记5名高二学生中女生为A，B，男生为a，b，c，
从中任选3人包含的基本事件有10种情况，它们是等可能的，这10种情况分别为：
（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c），
事件A包含的基本事件有（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），共6个，
∴选中的3人恰好为两男一女的概率P（A）＝＝．
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin2B+bsinA＝0，角B的平分线交AC于点D，BD＝2．
（1）求角B的大小；
（2）证明：．
解：（1）因为asin2B+bsinA＝0，
所以2asinBcsB+bsinA＝0，
由正弦定理可得2abcsB+ab＝0，
因为ab≠0，所以csB＝﹣，
因为B∈（0，π），所以B＝．
（2）证明：因为B＝，BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠CBD＝，
因为S△ABC＝S△ABD+S△CBD，
所以acsinB＝c•BD•sin∠ABD+a•BD•sin∠CBD
所以ac×＝c×2×+a×2×，即ac＝2（a+c），
所以+＝．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
分组
频数
频率
[6，6.5）
5
0.10
[6，5.7）
x
y
[7，7.5）
7
0.14
[7.5，8）
12
0.24
[8，8.5）
z
0.20
[8.5，9]
8
0.16
合计
50
1
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
分组
频数
频率
[6，6.5）
5
0.10
[6，5.7）
x
y
[7，7.5）
7
0.14
[7.5，8）
12
0.24
[8，8.5）
z
0.20
[8.5，9]
8
0.16
合计
50
1