浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是
A．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球
B．一个三角形三个内角的和小于
C．若是实数，则
D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
2．（3分）如图，点，，在上，若，则
A．B．C．D．
3．（3分）将函数的图象向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，设与轴正半轴所夹的锐角为，则锐角的正弦值为
A．B．C．D．
5．（3分）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为
A．8B．12C．16D．20
6．（3分）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则
A．2B．C．3D．
7．（3分）如图，在中，，点为边的中点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点．若，，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为6，，则的长度为
A．B．C．D．
9．（3分）已知点，，，，在二次函数是常数）的图象上，若，则
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且与关于直线对称．点在边上，分别与，交于，两点．若，，则
A．B．C．D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分） ．
12．（4分）若二次函数的图象过点，则的值是 ．
13．（4分）有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于2的概率是 ．
14．（4分）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上，两端点的距离为，，则容器的内径的长为 ．
15．（4分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内原有液体的最大深度．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了 （结果保留根号）．
16．（4分）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值．
则不等式的解集是 ，方程的解是 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
18．（8分）如图，测得两楼之间的水平距离为，从楼顶点观测点的俯角为，观测点的俯角为．分别求这两幢楼的高度（结果精确到．参考数据：，，．
19．（8分）一个斜抛物体的水平运动距离记为，对应的高度记为，与之间具有函数关系，是常数，．已知当时，；当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）求斜拋物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离．
20．（10分）如图，是的直径，弦于点，连接，，
（1）求证：．
（2）作于点，若的半径为5，，求的长．
21．（10分）如图，在中，是延长线上一点，与交于点．
（1）求证：．
（2）设和的面积分别为，，若，求的值．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数，是实数）．
（1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
（3）若该函数的图象经过，两点，是实数）．当时，求证：．
23．（12分）如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交，于点，，连接，，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）．
参考答案与解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是
A．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球
B．一个三角形三个内角的和小于
C．若是实数，则
D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球，这是不可能事件，故不符合题意；
．一个三角形三个内角的和小于，这是不可能事件，故不符合题意；
．若是实数，则，这是必然事件，故符合题意；
．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，这是随机事件，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2．（3分）如图，点，，在上，若，则
A．B．C．D．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
3．（3分）将函数的图象向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是
A．B．C．D．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
【解答】解：将函数的图象向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移规律是解题关键．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系内有一点，连接，设与轴正半轴所夹的锐角为，则锐角的正弦值为
A．B．C．D．
【分析】要求锐角的正弦值，想到构造直角三角形，所以过点作轴，垂足为，然后在中即可解答．
【解答】解：过点作轴，垂足为，
，
，，
，
在中，，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形构造直角三角形，是解题的关键．
5．（3分）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为
A．8B．12C．16D．20
【分析】根据相似多边形的性质得最长边的长为三角形的周长，依此列式计算即可求解．
【解答】解：一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，
它的最长边的长为．
故选：．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．
6．（3分）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则
A．2B．C．3D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：，
，
，，，
，
（负值舍去），
故选：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．
7．（3分）如图，在中，，点为边的中点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点．若，，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理得到，根据线段中点的定义得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：，，，
，，
点为边的中点，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
8．（3分）如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为6，，则的长度为
A．B．C．D．
【分析】连接．根据圆内接四边形的性质以及，求出．根据圆周角定理得出，那么，然后利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接．
四边形内接于，
，
，
，．
，
，
的半径为6，
的长度为．
故选：．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理．求出的度数是解题的关键．
9．（3分）已知点，，，，在二次函数是常数）的图象上，若，则
A．B．C．D．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【解答】解：二次函数是常数），
二次函数的开口向上，对称轴为直线，图象经过原点，
点，在二次函数是常数）的图象上，，
，，
，
点到对称轴的距离最近，点到对称轴的距离最远，
．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．（3分）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且与关于直线对称．点在边上，分别与，交于，两点．若，，则
A．B．C．D．
【分析】由轴对称想到连接，根据已知可得四边形是菱形，从而证明，然后利用平行线分线段成比例可得的值，再证明是等腰三角形，最后再证明8字型模型相似三角形，即可解答．
【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例，8字型模型相似三角形是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分） ．
【分析】根据记忆的内容，即可得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．
12．（4分）若二次函数的图象过点，则的值是 ．
【分析】将点代入函数解析式即可求出的值．
【解答】解：二次函数的图象过点，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点的坐标代入计算即可，是基础题．
13．（4分）有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于2的概率是 ．
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于2的有3，4，5，6，共4种结果，根据概率公式计算可得．
【解答】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于2的有3，4，5，6，共4种结果，
朝上面的点数大于2的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
14．（4分）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上，两端点的距离为，，则容器的内径的长为 10 ．
【分析】依题意得，根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长度．
【解答】解：如图，连接，，
，，
，
，
又，
，
．
故答案是：10．
【点评】本题考查相似三角形的应用．熟记“相似三角形的对应边成比例”是解决问题的关键．
15．（4分）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内原有液体的最大深度．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了 （结果保留根号）．
【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出和的长，即可得出答案．
【解答】解：设交于，
由题意得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即截面圆中弦的长减少了，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
16．（4分）设二次函数，，是常数，，如表列出了、的部分对应值．
则不等式的解集是 ，方程的解是 ．
【分析】抛物线经过点，可知对称轴为直线，然后利用二次函数的性质可判断不等式的解集是，方程的解是或．
【解答】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点是，点关于直线的对称点是，
抛物线开口向上，
不等式的解集是，方程的解是或，
故答案为：，或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组，观察表格得出正确信息，以及熟练二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是“3”的概率为；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，
两次记录的数字之和为3的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18．（8分）如图，测得两楼之间的水平距离为，从楼顶点观测点的俯角为，观测点的俯角为．分别求这两幢楼的高度（结果精确到．参考数据：，，．
【分析】过作于，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
【解答】解：如图，过作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知：，
，
在中，，
，
．
答：建筑物的高约为、的高约为．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．（8分）一个斜抛物体的水平运动距离记为，对应的高度记为，与之间具有函数关系，是常数，．已知当时，；当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）求斜拋物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离．
【分析】（1）将当时，；当时，，代入解析式，可求解；
（2）由，即可求解．
【解答】解：（1）当时，；当时，，
，
解得，，
关于的函数表达式为：；
（2），
斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为．
【点评】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．
20．（10分）如图，是的直径，弦于点，连接，，
（1）求证：．
（2）作于点，若的半径为5，，求的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出，，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：是直径，
，
，
，
，，
；
（2）解：如图，连接．
在中，，
在中，，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在中，是延长线上一点，与交于点．
（1）求证：．
（2）设和的面积分别为，，若，求的值．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论；
（2）由相似三角形的性质求出三角形与三角形的比值及三角形与三角形的比值，则可求出答案．
【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
同理可得，
设，则，，
，
．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数，是实数）．
（1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
（2）若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
（3）若该函数的图象经过，两点，是实数）．当时，求证：．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，解得即可；
（3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得．
【解答】解：（1）当时，则，
把点代入得，，
，
，即；
（2），
抛物线与轴的交点为，，
抛物线的对称轴为直线，
，
对称轴为直线，
抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
，
；
（3）函数的图象经过，两点，是实数），
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
23．（12分）如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交，于点，，连接，，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）．
【分析】（1）连接，求出，可得结论；
（2）通过计算求出，可得结论；
（3）证明，求出，，可得结论．
【解答】（1）解：如图，连接．
是直径，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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