黑龙江省大庆市林甸县五校2021-2022学年九年级上学期期末联考数学试题（word版 含答案）

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选择题:（每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝a6
C．（ab）2＝a2b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
2．在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC＝6，∠C＝90° B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B D．已知∠C＝∠B＝45°
3. 下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径.
4．下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（ ）
A．B．C．30°D．60°

6．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根
7．如图，若双曲线y＝与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为（ ）
A．2B．C．D．1
8．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或B．﹣2或C．﹣4 或2D．﹣2或2
9．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8B．12C．16D．18
10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11. 0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为 .
12．若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 ．
13．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于 .

14．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 ．
15．如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为 .
16．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
第16题图 第17题图 第18题图
17．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD=∠BED=45°，且CD=62，则AB的长为 .
三、解答题：（共66分）
19．（4分）计算:
（π−3.14）0+3−8+23tan60°−（−2）2021∙（12）2020.
20.（4分）解方程: 2−2xx+1=3x−1
21．（5分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
22．（5分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cs46°≈0.69，tan46°≈1.04）
23．（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
24．（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
25．（7分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝ ．
（1）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）如图3，C，D是线段AB的勾股点(AC26．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
27．（9分）如图1，△ABC内接于 ⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
答案：
一、选择题：
1——5 C B C A C, 6——10 ACCBB
二、填空题：
11.-3； 12. 0＜a≤1； 13.15º； 14.32π； 15.0 ； 16.217； 17. 15º或60º；
18. 413.
三、解答题：
19.（4分）原式=7
20.（4分）x=-5是原方程的解（检验）
21.（5分）解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
22. （5分）解：空调安装的高度足够．理由如下：
如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FHO中，tan46°＝，
∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞180，
∴HO＞AO，
∴空调安装的高度足够．
23. （6分）解：（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
（2）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内的共有9人，所占比例为，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80≤x＜90范围内的总人数为（人）；
（3）画树状图如图所示：
由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，
∴小张同时选择课程A和课程B的概率是．
24. （8分）解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，
由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x1＝25，x2＝35，
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．
25.（7分） 解：∵点M、N是线段AB的勾股点，
∴BN＝＝＝或BN＝＝＝，
∴BN的长为或；
故答案为：或；
（1）如图2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE，
∴CG＝GM，CH＝HN，
∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，
∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），
∴BN2＝MN2+AM2，
∴BN2＝MN2+AM2，
∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，
∴EH2＝GH2+DG2，
∴G、H是线段DE的勾股点；
（2）如图3，连接PD，
∵AC＝PC，
∴∠A＝∠APC，
∴∠PCD＝2∠A，
∵C，D是线段AB的勾股点，
∴AC2+BD2＝CD2，
∴PC2+BD2＝CD2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴PD＝BD，
∴∠PDC＝2∠B，
∵∠A＝2∠B，
∴∠PDC＝∠A，
在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，
∴2∠A+∠A＝90°，
解得∠A＝30°，
则∠B＝∠A＝15°.
26.（9分）解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8，
故答案为8；
（3）观察函数图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜1或x＜﹣3，
故答案为0＜x＜1或x＜﹣3；
（4）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0）（舍去），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣6，0）．
27.（9分）解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；
（2）相切．
理由：如图1，连接OD，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（3）如图2，过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，
则∠BHD＝90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BHD＝∠BAC，
∵∠BDH＝∠C，
∴△BDH∽△BCA，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∴OB＝OD＝5，
∴BD＝＝5，
∴＝，
∴BH＝3，
∴DH＝＝4，AH＝＝3，
∴AD＝AH+DH＝7，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴＝＝＝，
∴AF＝DF，BF＝DF，
∴AB＝AF﹣BF＝DF﹣DF＝6，
解得：DF＝．
28. （9分）解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，
∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC∽△CED．
∴．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．
（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；
当△BON∽△MDC，则，即，解得：；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON∽△MCD，则，即，
∴．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴，
解得t1＝（舍去），t2＝．
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴，无解；
当△BON∽△DCM，则，即，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得．
综上所示：当时，△BON∽△MDC；t＝时，△BON∽△MCD；时，△BON∽△DCM；
（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，
∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
∴，．
∴．
故A'Q+QN+DN的最小值为．