考前必背知识点-2022版数学选择性必修第一册 人教版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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第一章 空间向量与立体几何
一、共线向量、共面向量定理
1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
二、空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
三、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
运算 | 坐标表示 |
加法 | a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) |
减法 | a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) |
数乘 | λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R |
数量积 | a·b=a1b1+a2b2+a3b3 |
2.空间向量常用结论的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
结论 | 坐标表示 |
共线 | a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) |
垂直 | a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 |
向量长度 | |a|== |
向量夹 角公式 | cos<a,b>== |
3.空间两点间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=||=.
四、空间向量
1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行 | l∥m⇔μ∥v⇔μ=λv,λ∈R |
线面平行 | l∥α⇔μ⊥n1⇔μ·n1=0 |
面面平行 | α∥β⇔n1∥n2⇔n1=λn2,λ∈R |
线线垂直 | l⊥m⇔μ⊥v⇔μ·v=0 |
线面垂直 | l⊥α⇔μ∥n1⇔μ=λn1,λ∈R |
面面垂直 | α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0 |
线线夹角 | l,m的夹角θ∈,cos θ= |
线面夹角 | l,α的夹角为θ∈,sin θ= |
面面夹角 | α,β的夹角为θ∈,cos θ= |
2.点到直线的距离
设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ==.
3.点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ===.
第二章 直线和圆的方程
一、直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
定义 | 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 |
规定 | 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0° |
范围 | [0,π) |
2.直线的斜率
定义 | 当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α |
斜率公式 | 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= |
3.直线的方向向量
直线的方向向量 | 设A,B为直线上的两点,则就是这条直线的方向向量 |
方向向量的坐标 | 设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),则直线AB的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1) |
方向向量与斜率 | 若直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为(1,k) |
4.两条直线平行和垂直的判定
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.
位置关系 | 判定 | 特例 |
平行 | l1∥l2⇔k1=k2 | 直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行 |
垂直 | l1⊥l2⇔k1k2=-1 | 一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直 |
二、直线的方程
直线方程的五种形式及适用范围:
名称 | 几何条件 | 方程 | 适用条件 |
斜截式 | 纵截距、斜率 | y=kx+b | 与x轴不垂直的直线 |
点斜式 | 过一点、斜率 | y-y0=k(x-x0) | |
两点式 | 过两点 | = | 与两坐标轴均不垂直的直线 |
截距式 | 横、纵截距 | +=1 | 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 |
一般式 |
| Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) | 所有直线 |
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点坐标
直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标就是方程组的解.
位置关系 | 方程组的解的个数 |
相交 | 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 |
平行 | 方程组无解 |
重合 | 方程组有无数个解 |
2.距离公式
距离类型 | 已知几何元素 | 距离公式 |
两点间的距离 | 两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) | |P1P2| = |
点到直线的距离 | 点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0 | d= |
两条平行直线 间的距离 | 两条平行直线l1: Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 | d= |
四、圆的方程
圆的定义 | 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 | ||
圆 的 方 程 | 标准式 | (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) | 圆心坐标:(a,b) |
半径为r | |||
一般式 | x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) | 圆心坐标: | |
半径r= | |||
五、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;
(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.
位置关系 | 几何法 | 代数法 |
相交 | d<r | Δ>0 |
相切 | d=r | Δ=0 |
相离 | d>r | Δ<0 |
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
方法位置关系 | 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 | 代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断 |
外离 | d>r1+r2 | 无解 |
外切 | d=r1+r2 | 一组实数解 |
相交 | |r1-r2|<d<r1+r2 | 两组不同的实数解 |
内切 | d=|r1-r2|(r1≠r2) | 一组实数解 |
内含 | 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) | 无解 |
第三章 圆锥曲线的方程
一、椭圆
1.椭圆的定义
定义 | 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 | |
符号语言 | 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数 | |
轨迹类型 | a>c | 点M的轨迹为椭圆 |
a=c | 点M的轨迹为线段 | |
a<c | 点M不存在 | |
2.椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程 | +=1(a>b>0) | +=1(a>b>0) | |
图形 | |||
性 质 | 范围 | -a≤x≤a,-b≤y≤b | -a≤y≤a,-b≤x≤b |
对称性 | 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 | ||
顶点坐标 | A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) | A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) | |
轴 | 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长;短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长 | ||
焦距 | |F1F2|=2c | ||
离心率 | e=,e∈(0,1),其中c= | ||
a,b,c的关系 | a2=b2+c2 | ||
二、双曲线
1.双曲线的定义
定义 | 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 | |
符号语言 | 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0 | |
轨迹类型 | a<c | 点M的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) |
a=c | 点M的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) | |
a>c | 点M不存在 | |
2.双曲线的标准方程及其几何性质
标准方程 | -=1(a>0,b>0) | -=1(a>0,b>0) | |
图形 | |||
性 质 | 范围 | x≤-a或x≥a,y∈R | x∈R,y≤-a或y≥a |
对称性 | 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 | ||
顶点 | A1(-a,0),A2(a,0) | A1(0,-a),A2(0,a) | |
渐近线 | y=±x | y=±x | |
离心率 | e=,e∈(1,+∞),其中c= | ||
轴 | 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长; 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长 | ||
a,b,c的关系 | c2=a2+b2 | ||
三、抛物线
1.抛物线的定义
定义 | 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线 |
符号语言 | 集合P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离) |
特例 | 当F∈l时,动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线 |
2.抛物线的标准方程及其几何性质
图形 | ||||||
标准方程 | y2= 2px(p>0) | y2= -2px(p>0) | x2= 2py(p>0) | x2= -2py(p>0) | ||
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 | ||||||
性 质 | 顶点 | O(0,0) | ||||
对称轴 | y=0 | x=0 | ||||
焦点 | F | F | F | F | ||
离心率 | e=1 | |||||
准线方程 | x=- | x= | y=- | y= | ||
范围 | x≥0,y∈R | x≤0,y∈R | y≥0,x∈R | y≤0,x∈R | ||
开口方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 | ||
