专题强化练6　轨迹问题-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练6　轨迹问题

　一、选择题

1.()在平面内,|AB|=2a(a为常数,且a>1),动点C满足·=-1,则点C的轨迹为 (　　)

A.圆　　　　B.椭圆　　　　C.抛物线　　　　D.直线

2.(2021江西师大附中高二上期中,)与圆x2+y2-4x=0外切且与y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是              (　　)

A.y2=8x(x>0)

B.y2=8x(x>0)或y=0(x<0)

C.x2=8y(y>0)

D.x2=8y(y>0)或x=0(y<0)

3.()在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:

则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为 (　　)

A.C3,C1,C2　　　　　　　B.C1,C2,C3

C.C3,C2,C1　　　　　　　D.C1,C3,C2

二、填空题

4.(2021上海实验学校高二上期中,)已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2-6,则动点P的轨迹方程是　　　　. 

5.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)已知△ABC的顶点A(-3,0),B(6,0),若顶点C在抛物线y=x2上移动,则△ABC的重心的轨迹方程为　　　　. 

三、解答题

6.(2021浙江宁波效实中学高二上期中,)已知椭圆的左焦点为F(-,0),右顶点为D(2,0),设点A的坐标是.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.

7.(2021江西南昌新建二中高二上期中,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(6,y0),F为抛物线的焦点,且|PF|=10.

(1)求y0的值;

(2)点Q为抛物线C上一动点,点M为线段FQ的中点,试求点M的轨迹方程.

8.(2021黑龙江大庆铁人中学高二上第一次月考,)已知两定点F1(-,0),F2(,0),点P是曲线E上任意一点,且满足条件||-||=2.

(1)求曲线E的方程;

(2)若直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点,求k的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　不妨设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),

因为·=-1,所以(x+a,y)·(x-a,y)=-1,即(x+a)(x-a)+y2=-1,

解得x2+y2=a2-1>0,

所以点C的轨迹为圆,故选A.

2.B　将圆的方程化为标准方程得(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2,

设动圆的圆心坐标为(x,y),由题意可得-2=|x|,

即=|x|+2.

①当x=0时,可得y=0,此时动圆圆心为坐标原点,不符合题意;

②当x>0时,可得=x+2,等式两边平方并化简,得y2=8x;

③当x<0时,可得=2-x,等式两边平方并化简,得y=0.

因此,动圆圆心的轨迹方程为y2=8x(x>0)或y=0(x<0).

故选B.

3.A　对于①,△ABC的周长为10,则|AB|+|BC|+|AC|=10,

又|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6>|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆(不与A、B重合),

与C3对应;

对于②,△ABC的面积为10,所以|BC|·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;

对于③,因为∠A=90°,所以点A在以BC为直径的圆上(不与B、C重合),与C2对应.

故选A.

二、填空题

4.答案　y2=x

解析　因为A(-2,0),B(3,0),P(x,y),

所以=(-2-x,-y),=(3-x,-y),

又·=x2-6,所以(-2-x)(3-x)+y2=x2-6,

整理得y2=x.

5.答案　y=3(x-1)2(x≠1)

解析　设△ABC的重心为G(x,y),C(x',y'),x'≠0,

则有即

所以x≠1,

因为点C在抛物线y=x2上,

所以有3y=(3x-3)2,即y=3(x-1)2,x≠1.

故答案为y=3(x-1)2(x≠1).

三、解答题

6.解析　(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),

由题意可得解得b=1,

因此,椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)设点P(x0,y0),M(x,y),则+=1,

由中点坐标公式可得

解得

代入+=1,得+=1,即+4=1.

因此,线段PA的中点M的轨迹方程为+4=1.

7.解析　(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(6,y0)可得=12p,

又|PF|=10,所以6+=10,

解得p=8,y0=±4.

(2)由(1)知C:y2=16x,则F(4,0),

设Q(x1,y1),M(x,y),

因为点M为线段FQ的中点,所以有

即

又点Q为抛物线C上一动点,所以(2y)2=16(2x-4),

整理可得点M的轨迹方程为y2=8x-16.

8.解析　(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-,0),F2(,0)为焦点的双曲线的左支,且c=,a=1,∴b==1,故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组消去y,

得(1-k2)x2+2kx-2=0,已知直线与双曲线x2-y2=1的左支交于两点A,B,

则解得-<k<-1.