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数学第五章 计数原理1 基本计数原理1.3 基本计数原理的简单应用课时练习
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这是一份数学第五章 计数原理1 基本计数原理1.3 基本计数原理的简单应用课时练习，共13页。试卷主要包含了1 分类加法计数原理等内容，欢迎下载使用。
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
1.3 基本计数原理的简单应用
基础过关练
题组一 分类加法计数原理
1.(2020重庆高二下期末)完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则不同的选法共有( )
A.5种 B.4种 C.9种 D.45种
2.(2020福建泰宁第一中学月考)李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到东亚文化之都——泉州参加二日游,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有( )
A.16种 B.18种 C.20种 D.24种
3.(2020北京东城高二下期末改编)若A∪B={1,2},则集合A,B共有 种组合.
题组二 分步乘法计数原理
4.(2020广东云浮高二期末)用0,1,3,5,7,9这6个数字,可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A.360 B.300 C.240 D.180
5.(2020湖南永州高二期末)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度,研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视,周一至周四这四天各安排1名,周五安排2名,每名干部只去一天,则不同的安排方法共有( )
A.320种 B.360种 C.370种 D.390种
6.(2020山东烟台第一中学高一下月考)现用4种不同的颜色对如图所示的四个部分进行着色,要求4种颜色都用,则不同的着色方法共有( )
A.24种 B.30种 C.36种 D.48种
7.(2020重庆巴蜀中学高三月考)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只能去一个场馆,则不同的安排方法共有( )
A.729种 B.726种
C.543种 D.540种
8.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.
(1)P可以表示多少个平面上不同的点?
(2)P可以表示多少个第二象限的点?
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?
题组三 两个计数原理的综合应用
9.(2020天津高二期末)从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有( )
A.27个 B.30个 C.36个 D.60个
10.(2020山东青岛二中高三上期末)如图,在由开关组A与B组成的电路中,闭合开关使灯发光的方法有 种.
11.某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每个年级各选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?
能力提升练
题组一 分类加法计数原理
1.(2020辽宁沈阳高二期末,)某同学收到的生日礼物中有同样的迷你风扇3个,同样的迷你优盘2个,从这5个礼物中取出4个,赠送给4位朋友,每位朋友1个,则不同的赠送方法共有( )
A.5种 B.6种 C.10种 D.12种
2.(2020天津高二期末,)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时各位数均不产生进位现象,则称n为“开心数”;若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时产生进位现象,则称n为“伤心数”.例如:32是“开心数”,因为32+33+34不产生进位现象,而23是“伤心数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“伤心数”的个数为( )
A.90 B.88 C.24 D.12
题组二 分步乘法计数原理
3.(2020福建龙岩高二期末,)有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课,要求每位同学各选一门报名(互不干扰),则地理学科恰有2人报名的方案有 种.
4.(2020浙江宁海中学高三月考,)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术竞赛并决出第一至第五名(无并列名次),赛后甲、乙去询问成绩,老师对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不是最差的.”则5人的名次排列有 种.
5.(2020山东东营一中高三上期末,)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值?
题组三 两个计数原理的综合应用
6.(2020湖北宜昌高二下期末,)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1>a2,且a2A.240 B.285
C.729 D.920
7.(2020北京交通大学附属中学高二期末,)某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的上课方法有( )
A.8种 B.10种 C.12种 D.14种
8.(2020河南平顶山高三一模,)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M,N中任选两个元素作为点(a,b)的坐标,则这样的点(a,b)在平面直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A.24 B.18 C.14 D.6
9.(2020安徽合肥高三月考,)周六晚上,小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起,为安全起见,每个孩子至少有一侧有家长陪坐,则不同的坐法种数为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
10.(2019安徽合肥巢湖高二月考,)现有5种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则一共有 种涂法.
11.()一个非负整数的有序数对(x,y),如果在做x与y的加法时不用进位,则称(x,y)为“中国梦数对”,x+y称为“中国梦数对”(x,y)的和,则和为2018的“中国梦数对”的个数为 .
答案全解全析
基础过关练
1.C 因为只会用第一种方法的有5个人,选1个人完成这项工作有5种选法,只会用第二种方法的有4个人,选1个人完成这项工作有4种选法,因此一共有5+4=9种选法.
2.C 国庆节共7天,设7天分别为①②③④⑤⑥⑦,相邻两天的组合一共有6种情况:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,分两类情况讨论即可.若李雷选①②或⑥⑦,则韩梅梅有4种选择,若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则韩梅梅有3种选择,故他们不同一天出现在泉州的不同方案共有2×4+4×3=20种,故选C.
3.答案 9
解析 ①当集合A=∅时,集合B={1,2},有1种;②当集合A={1}时,集合B={1,2}或{2},当集合A={2}时,集合B={1,2}或{1},共有2+2=4种;③当集合A={1,2}时,集合B=∅或{1}或{2}或{1,2},共有4种,由分类加法计数原理,可知集合A,B的组合共有1+4+4=9种.
4.B 从左到右,第一个位置有5种选择(0不能在首位),第二个位置有5种选择,第三个位置有4种选择,第四个位置有3种选择,因此可以组成没有重复数字的四位数的个数是5×5×4×3=300,故选B.
5.B 周一有6种安排方法,周二有5种安排方法,周三有4种安排方法,周四有3种安排方法,周五有1种安排方法,由分步乘法计数原理,可知不同的安排方法共有6×5×4×3×1=360种.故选B.
6.A ①给C块着色,有4种方法;②给A块着色,有3种方法;③给B块着色,有2种方法;④给D块着色,有1种方法(因为要求4种颜色都用),由分步乘法计数原理知,共有4×3×2×1=24种着色方法,故选A.
7.A 每名同学只能去一个场馆,同学不可剩余,把同学当成主体,首先从6名同学中选1名到甲、乙、丙三个场馆,方法有3种,然后从剩下的5名同学中选1名到甲、乙、丙三个场馆,方法有3种,依次类推,6名同学去甲、乙、丙三个场馆做志愿者的不同的安排方法共有36=729种.
易错警示
本题的难点在于找不到主体,不知道是从场馆还是同学入手分析,分不清是36还是63,题目中的6名同学去甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名学生只能去一个场馆,说明6名同学可以都去一个场馆,那么同学不能剩余,所以从同学入手分析,把6名同学当成主体,一个一个分析即可.
8.解析 (1)分两步.第一步确定a,有6种方法;第二步确定b,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6=36个不同的点.
(2)分两步.第一步确定a,只能从-3,-2,-1中选,有3种方法;第二步确定b,只能从1,2中选,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有3×2=6个.
(3)分两步.第一步确定a,从集合M中的6个元素中任选一个,有6种方法;第二步确定b,从剩下的5个元素中任选一个,有5种方法,根据分步乘法计数原理,不在直线y=x上的点共有6×5=30个.
9.B 分0在末位与2或4在末位两种情况讨论.当0在末位时,前两个位置中第一个位置有4种选法,第二个位置有3种选法,所以组成的三位偶数有4×3=12个;当0不在末位时,2或4在末位有两种选法,前两个位置中第一个位置有3种选法,第二个位置有3种选法,所以组成的三位偶数有2×3×3=18个,所以从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有12+18=30个,故选B.
10.答案 21
解析 分两类,每类中分两步.第一类:第1步:A组开关闭合一个,有2种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共2×(3+3+1)=14种闭法.
第二类:第1步:A组开关闭合2个,共1种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共1×(3+3+1)=7种闭法.
综上,共14+7=21种闭法.
11.解析 (1)根据题意,选其中一人为负责人,可分为3类.
第1类:选出的是高一学生,有13种选法;
第2类:选出的是高二学生,有12种选法;
第3类:选出的是高三学生,有9种选法.
由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种选法.
(2)根据题意,共分为3步.
第1步:从高一学生中选出1人,有13种选法;
第2步:从高二学生中选出1人,有12种选法;
第3步:从高三学生中选出1人,有9种选法.
由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1404种选法.
(3)根据题意,可分为3类.
第1类:选出的是高一、高二学生,有13×12=156种选法;
第2类:选出的是高一、高三学生,有13×9=117种选法;
第3类:选出的是高二、高三学生,有12×9=108种选法.
由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种选法.
能力提升练
1.C 根据题意,分2种情况讨论:①选出的4件礼物为迷你风扇3个,迷你优盘1个,赠送给4位朋友,每位朋友1个,得到迷你优盘的有4种情况,②选出的4件礼物为迷你风扇2个,迷你优盘2个,赠送给4位朋友,每位朋友1个,2人得到迷你优盘,剩下的两人得到迷你风扇,将这四位朋友设为a,b,c,d,得到迷你优盘的可能是(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),有6种情况,则有4+6=10种不同的赠送方法.故选C.
2.B 根据题意,不产生进位的个位数的三个数有0,1,2;1,2,3;2,3,4,共3组,则符合条件的还有10,11,12;11,12,13;12,13,14;20,21,22;21,22,23;22,23,24;30,31,32;31,32,33;32,33,34,共9组,所以不产生进位的三个数共12组.则小于100的所有的“开心数”有0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32,共12个,剩余为“伤心数”,所以“伤心数”的个数为100-12=88.
故选B.
3.答案 54
解析 设4位同学为a,b,c,d.由题意,先在4位同学中选2人选地理学科,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6种选法,再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课中任选一门报名,每个人有3种选法,共3×3=9种选法,故地理学科恰有2人报名的方案有6×9=54种.
4.答案 54
解析 由题意,甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名,乙的限制最多,故第一步排乙,有3种情况,可以是第二或三或四名;第二步排甲,不是第一名,乙占一个名次,也有3种情况;第三步排余下3人,有3×2×1=6种情况.故共有3×3×6=54种不同的情况.
5.解析 第一步,取底数,有8种取法;
第二步,取真数,有7种取法.
根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56个对数.
但在这些对数中,lg24=lg39,lg42=lg93,lg23=lg49,lg32=lg94,所以可以得到56-4=52个不同的对数值.
6.B 因为a1>a2,且a2拓展公式
1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1)2,12+22+32+…+(n-1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6,13+23+33+…+(n-1)3+n3=n2(n+1)24.
7.B 由题表可知:物理课可以上任意一节,生物课在B层班级,所以只能上第二、三节,政治课只能上第一、三、四节,而自习课可以上任意一节.故以生物课(或政治课)进行分类,再分步排其他科目.若生物课排第二节,则第一节有3种选法,第三节有2种选法,第四节有1种选法,所以共有3×2×1=6种不同的选课方法.
若生物课排第三节,则政治课有2种排法,即第一节或者第四节,物理课有2种排法,自习课有1种排法,共有2×2×1=4种不同的选课方法.所以共有6+4=10种不同的选课方法,故选B.
8.A 解法一:第一、二象限的点需要满足纵坐标大于0,分三类.第一类,分别从M,N中各选一个元素,当M中元素作为横坐标,N中元素作为纵坐标时,横坐标有3种情况,纵坐标有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6;第二类,N中元素作为横坐标,M中元素作为纵坐标时,横坐标有4种情况,纵坐标有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是4×2=8;第三类,从集合M中选两个元素作为点(a,b)的坐标,b可以是1或3,有2种情况,符合条件的(a,b)坐标有2×2=4种情况,从集合N中选两个元素作为点(a,b)的坐标,b可以是5或6,符合条件的点(a,b)的坐标有2×3=6种情况.
综上,共有6+8+4+6=24个,故选A.
解法二:因为M、N中元素互不相同,可看成是从P={1,-2,3,-4,5,6,-7}中任选2个元素,b有4种选择,a有6种选择,所以共有4×6=24个.
陷阱分析
从集合M,N中任选两个元素作为点(a,b)的坐标是指可以从M中选两个元素,可以从N中选两个元素,或者从M、N中各任选一个元素,同时,并没有限定集合M中选择的元素就是a,集合B中选择的元素就是b,不要遗漏了任何一种情况.
9.C 先计算出所有情况,第一个位置有4种坐法,第二个位置有3种坐法,第三个位置有2种坐法,第四个位置有1种坐法,共4×3×2×1=24种坐法,再减去不符合条件的坐法种数即可.当孩子坐在一起并且坐在最边上时,有一个孩子没有大人陪坐,第一个位置坐孩子有2种坐法,第二个位置坐另一个孩子,第三个位置坐大人有2种坐法,第四个位置坐另一个大人,也可以两个孩子坐在第三、第四的位置,乘2即可,所以共2×2×2=8种坐法,所以每个孩子旁边必须有大人陪坐共有24-8=16种坐法,故选C.
10.答案 420
解析 第1类:顶点A,C同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×1×3=180种.
第2类:顶点A,C不同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×2×2=240种.
综上,不同的涂法共有180+240=420种.
11.答案 54
解析 设x=1000a1+100b1+10c1+d1,y=1000a2+100b2+10c2+d2,则x+y=1000(a1+a2)+100(b1+b2)+10(c1+c2)+(d1+d2),根据题意得a1+a2=2,b1+b2=0,c1+c2=1,d1+d2=8,其中ai,bi,ci,di(i=1,2)均为自然数,满足条件a1+a2=2的自然数对(a1,a2)有:(0,2),(1,1),(2,0),共3对;满足条件b1+b2=0的自然数对(b1,b2)有(0,0),共1对;满足条件c1+c2=1的自然数对(c1,c2)有:(0,1),(1,0),共2对,满足条件d1+d2=8的自然数对(d1,d2)有:(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0),共9对,由分步乘法计数原理可知,和为2018的“中国梦数对”的个数为3×1×2×9=54.
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
1.3 基本计数原理的简单应用
基础过关练
题组一 分类加法计数原理
1.(2020重庆高二下期末)完成一项工作,有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,从这9个人中选1个人完成这项工作,则不同的选法共有( )
A.5种 B.4种 C.9种 D.45种
2.(2020福建泰宁第一中学月考)李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到东亚文化之都——泉州参加二日游,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有( )
A.16种 B.18种 C.20种 D.24种
3.(2020北京东城高二下期末改编)若A∪B={1,2},则集合A,B共有 种组合.
题组二 分步乘法计数原理
4.(2020广东云浮高二期末)用0,1,3,5,7,9这6个数字,可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )
A.360 B.300 C.240 D.180
5.(2020湖南永州高二期末)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度,研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视,周一至周四这四天各安排1名,周五安排2名,每名干部只去一天,则不同的安排方法共有( )
A.320种 B.360种 C.370种 D.390种
6.(2020山东烟台第一中学高一下月考)现用4种不同的颜色对如图所示的四个部分进行着色,要求4种颜色都用,则不同的着色方法共有( )
A.24种 B.30种 C.36种 D.48种
7.(2020重庆巴蜀中学高三月考)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只能去一个场馆,则不同的安排方法共有( )
A.729种 B.726种
C.543种 D.540种
8.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.
(1)P可以表示多少个平面上不同的点?
(2)P可以表示多少个第二象限的点?
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?
题组三 两个计数原理的综合应用
9.(2020天津高二期末)从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有( )
A.27个 B.30个 C.36个 D.60个
10.(2020山东青岛二中高三上期末)如图,在由开关组A与B组成的电路中,闭合开关使灯发光的方法有 种.
11.某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每个年级各选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?
能力提升练
题组一 分类加法计数原理
1.(2020辽宁沈阳高二期末,)某同学收到的生日礼物中有同样的迷你风扇3个,同样的迷你优盘2个,从这5个礼物中取出4个,赠送给4位朋友,每位朋友1个,则不同的赠送方法共有( )
A.5种 B.6种 C.10种 D.12种
2.(2020天津高二期末,)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时各位数均不产生进位现象,则称n为“开心数”;若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时产生进位现象,则称n为“伤心数”.例如:32是“开心数”,因为32+33+34不产生进位现象,而23是“伤心数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“伤心数”的个数为( )
A.90 B.88 C.24 D.12
题组二 分步乘法计数原理
3.(2020福建龙岩高二期末,)有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课,要求每位同学各选一门报名(互不干扰),则地理学科恰有2人报名的方案有 种.
4.(2020浙江宁海中学高三月考,)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术竞赛并决出第一至第五名(无并列名次),赛后甲、乙去询问成绩,老师对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不是最差的.”则5人的名次排列有 种.
5.(2020山东东营一中高三上期末,)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值?
题组三 两个计数原理的综合应用
6.(2020湖北宜昌高二下期末,)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1>a2,且a2
C.729 D.920
7.(2020北京交通大学附属中学高二期末,)某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的上课方法有( )
A.8种 B.10种 C.12种 D.14种
8.(2020河南平顶山高三一模,)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M,N中任选两个元素作为点(a,b)的坐标,则这样的点(a,b)在平面直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A.24 B.18 C.14 D.6
9.(2020安徽合肥高三月考,)周六晚上,小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起,为安全起见,每个孩子至少有一侧有家长陪坐,则不同的坐法种数为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
10.(2019安徽合肥巢湖高二月考,)现有5种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则一共有 种涂法.
11.()一个非负整数的有序数对(x,y),如果在做x与y的加法时不用进位,则称(x,y)为“中国梦数对”,x+y称为“中国梦数对”(x,y)的和,则和为2018的“中国梦数对”的个数为 .
答案全解全析
基础过关练
1.C 因为只会用第一种方法的有5个人,选1个人完成这项工作有5种选法,只会用第二种方法的有4个人,选1个人完成这项工作有4种选法,因此一共有5+4=9种选法.
2.C 国庆节共7天,设7天分别为①②③④⑤⑥⑦,相邻两天的组合一共有6种情况:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦,分两类情况讨论即可.若李雷选①②或⑥⑦,则韩梅梅有4种选择,若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则韩梅梅有3种选择,故他们不同一天出现在泉州的不同方案共有2×4+4×3=20种,故选C.
3.答案 9
解析 ①当集合A=∅时,集合B={1,2},有1种;②当集合A={1}时,集合B={1,2}或{2},当集合A={2}时,集合B={1,2}或{1},共有2+2=4种;③当集合A={1,2}时,集合B=∅或{1}或{2}或{1,2},共有4种,由分类加法计数原理,可知集合A,B的组合共有1+4+4=9种.
4.B 从左到右,第一个位置有5种选择(0不能在首位),第二个位置有5种选择,第三个位置有4种选择,第四个位置有3种选择,因此可以组成没有重复数字的四位数的个数是5×5×4×3=300,故选B.
5.B 周一有6种安排方法,周二有5种安排方法,周三有4种安排方法,周四有3种安排方法,周五有1种安排方法,由分步乘法计数原理,可知不同的安排方法共有6×5×4×3×1=360种.故选B.
6.A ①给C块着色,有4种方法;②给A块着色,有3种方法;③给B块着色,有2种方法;④给D块着色,有1种方法(因为要求4种颜色都用),由分步乘法计数原理知,共有4×3×2×1=24种着色方法,故选A.
7.A 每名同学只能去一个场馆,同学不可剩余,把同学当成主体,首先从6名同学中选1名到甲、乙、丙三个场馆,方法有3种,然后从剩下的5名同学中选1名到甲、乙、丙三个场馆,方法有3种,依次类推,6名同学去甲、乙、丙三个场馆做志愿者的不同的安排方法共有36=729种.
易错警示
本题的难点在于找不到主体,不知道是从场馆还是同学入手分析,分不清是36还是63,题目中的6名同学去甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名学生只能去一个场馆,说明6名同学可以都去一个场馆,那么同学不能剩余,所以从同学入手分析,把6名同学当成主体,一个一个分析即可.
8.解析 (1)分两步.第一步确定a,有6种方法;第二步确定b,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6=36个不同的点.
(2)分两步.第一步确定a,只能从-3,-2,-1中选,有3种方法;第二步确定b,只能从1,2中选,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有3×2=6个.
(3)分两步.第一步确定a,从集合M中的6个元素中任选一个,有6种方法;第二步确定b,从剩下的5个元素中任选一个,有5种方法,根据分步乘法计数原理,不在直线y=x上的点共有6×5=30个.
9.B 分0在末位与2或4在末位两种情况讨论.当0在末位时,前两个位置中第一个位置有4种选法,第二个位置有3种选法,所以组成的三位偶数有4×3=12个;当0不在末位时,2或4在末位有两种选法,前两个位置中第一个位置有3种选法,第二个位置有3种选法,所以组成的三位偶数有2×3×3=18个,所以从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数,其中偶数有12+18=30个,故选B.
10.答案 21
解析 分两类,每类中分两步.第一类:第1步:A组开关闭合一个,有2种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共2×(3+3+1)=14种闭法.
第二类:第1步:A组开关闭合2个,共1种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共1×(3+3+1)=7种闭法.
综上,共14+7=21种闭法.
11.解析 (1)根据题意,选其中一人为负责人,可分为3类.
第1类:选出的是高一学生,有13种选法;
第2类:选出的是高二学生,有12种选法;
第3类:选出的是高三学生,有9种选法.
由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种选法.
(2)根据题意,共分为3步.
第1步:从高一学生中选出1人,有13种选法;
第2步:从高二学生中选出1人,有12种选法;
第3步:从高三学生中选出1人,有9种选法.
由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1404种选法.
(3)根据题意,可分为3类.
第1类:选出的是高一、高二学生,有13×12=156种选法;
第2类:选出的是高一、高三学生,有13×9=117种选法;
第3类:选出的是高二、高三学生,有12×9=108种选法.
由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种选法.
能力提升练
1.C 根据题意,分2种情况讨论:①选出的4件礼物为迷你风扇3个,迷你优盘1个,赠送给4位朋友,每位朋友1个,得到迷你优盘的有4种情况,②选出的4件礼物为迷你风扇2个,迷你优盘2个,赠送给4位朋友,每位朋友1个,2人得到迷你优盘,剩下的两人得到迷你风扇,将这四位朋友设为a,b,c,d,得到迷你优盘的可能是(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),有6种情况,则有4+6=10种不同的赠送方法.故选C.
2.B 根据题意,不产生进位的个位数的三个数有0,1,2;1,2,3;2,3,4,共3组,则符合条件的还有10,11,12;11,12,13;12,13,14;20,21,22;21,22,23;22,23,24;30,31,32;31,32,33;32,33,34,共9组,所以不产生进位的三个数共12组.则小于100的所有的“开心数”有0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,31,32,共12个,剩余为“伤心数”,所以“伤心数”的个数为100-12=88.
故选B.
3.答案 54
解析 设4位同学为a,b,c,d.由题意,先在4位同学中选2人选地理学科,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6种选法,再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课中任选一门报名,每个人有3种选法,共3×3=9种选法,故地理学科恰有2人报名的方案有6×9=54种.
4.答案 54
解析 由题意,甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名,乙的限制最多,故第一步排乙,有3种情况,可以是第二或三或四名;第二步排甲,不是第一名,乙占一个名次,也有3种情况;第三步排余下3人,有3×2×1=6种情况.故共有3×3×6=54种不同的情况.
5.解析 第一步,取底数,有8种取法;
第二步,取真数,有7种取法.
根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56个对数.
但在这些对数中,lg24=lg39,lg42=lg93,lg23=lg49,lg32=lg94,所以可以得到56-4=52个不同的对数值.
6.B 因为a1>a2,且a2
1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1)2,12+22+32+…+(n-1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6,13+23+33+…+(n-1)3+n3=n2(n+1)24.
7.B 由题表可知:物理课可以上任意一节,生物课在B层班级,所以只能上第二、三节,政治课只能上第一、三、四节,而自习课可以上任意一节.故以生物课(或政治课)进行分类,再分步排其他科目.若生物课排第二节,则第一节有3种选法,第三节有2种选法,第四节有1种选法,所以共有3×2×1=6种不同的选课方法.
若生物课排第三节,则政治课有2种排法,即第一节或者第四节,物理课有2种排法,自习课有1种排法,共有2×2×1=4种不同的选课方法.所以共有6+4=10种不同的选课方法,故选B.
8.A 解法一:第一、二象限的点需要满足纵坐标大于0,分三类.第一类,分别从M,N中各选一个元素,当M中元素作为横坐标,N中元素作为纵坐标时,横坐标有3种情况,纵坐标有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6;第二类,N中元素作为横坐标,M中元素作为纵坐标时,横坐标有4种情况,纵坐标有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是4×2=8;第三类,从集合M中选两个元素作为点(a,b)的坐标,b可以是1或3,有2种情况,符合条件的(a,b)坐标有2×2=4种情况,从集合N中选两个元素作为点(a,b)的坐标,b可以是5或6,符合条件的点(a,b)的坐标有2×3=6种情况.
综上,共有6+8+4+6=24个,故选A.
解法二:因为M、N中元素互不相同,可看成是从P={1,-2,3,-4,5,6,-7}中任选2个元素,b有4种选择,a有6种选择,所以共有4×6=24个.
陷阱分析
从集合M,N中任选两个元素作为点(a,b)的坐标是指可以从M中选两个元素,可以从N中选两个元素,或者从M、N中各任选一个元素,同时,并没有限定集合M中选择的元素就是a,集合B中选择的元素就是b,不要遗漏了任何一种情况.
9.C 先计算出所有情况,第一个位置有4种坐法,第二个位置有3种坐法,第三个位置有2种坐法,第四个位置有1种坐法,共4×3×2×1=24种坐法,再减去不符合条件的坐法种数即可.当孩子坐在一起并且坐在最边上时,有一个孩子没有大人陪坐,第一个位置坐孩子有2种坐法,第二个位置坐另一个孩子,第三个位置坐大人有2种坐法,第四个位置坐另一个大人,也可以两个孩子坐在第三、第四的位置,乘2即可,所以共2×2×2=8种坐法,所以每个孩子旁边必须有大人陪坐共有24-8=16种坐法,故选C.
10.答案 420
解析 第1类:顶点A,C同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×1×3=180种.
第2类:顶点A,C不同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×2×2=240种.
综上,不同的涂法共有180+240=420种.
11.答案 54
解析 设x=1000a1+100b1+10c1+d1,y=1000a2+100b2+10c2+d2,则x+y=1000(a1+a2)+100(b1+b2)+10(c1+c2)+(d1+d2),根据题意得a1+a2=2,b1+b2=0,c1+c2=1,d1+d2=8,其中ai,bi,ci,di(i=1,2)均为自然数,满足条件a1+a2=2的自然数对(a1,a2)有:(0,2),(1,1),(2,0),共3对;满足条件b1+b2=0的自然数对(b1,b2)有(0,0),共1对;满足条件c1+c2=1的自然数对(c1,c2)有:(0,1),(1,0),共2对,满足条件d1+d2=8的自然数对(d1,d2)有:(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0),共9对,由分步乘法计数原理可知,和为2018的“中国梦数对”的个数为3×1×2×9=54.
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
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