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数学北师大版 (2019)3.2 组合数及其性质同步测试题
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这是一份数学北师大版 (2019)3.2 组合数及其性质同步测试题，共20页。试卷主要包含了1 组合，下列关系中,能成立的是，证明等内容，欢迎下载使用。
3.2 组合数及其性质
基础过关练
题组一 组合与组合数公式
1.从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两个,则下列问题是组合问题的为( )
A.相加,可以得到多少个不同的和
B.相乘,可以得到多少个不同的积
C.相减,可以得到多少个不同的差
D.相除,可以得到多少个不同的商
2.(多选题)(2020山东德州高二下月考)下列关系中,能成立的是( )
A.Cnm=mnCn-1m-1 B.Cnm=n!(n-m)!m!
C.m!=AnmCnm D.Anm+mAnm-1=An+1m
3.(2020福建宁德高二期末)若2An2=3Cn3,则n=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.(2020河北保定高二月考)若Cn2A22=42,则n!3!(n-4)!的值为( )
A.60 B.70 C.120 D.140
5.(2020湖南长沙高二期中)C33+C43+C53+…+C20193+C20203= .(用组合数表示即可)
6.C22+C32+…+C102= .
7.判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)若集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票?
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学;
(4)三个人去做5种不同的工作,每人做1种,有多少种分工方法?
(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法?
8.(1)求值Cn5-n+Cn+19-n;
(2)已知1C5m-1C6m=710C7m,求C8m.
9.证明:Cnk·Cn-km-k=Cnm·Cmk.
题组二 组合的简单应用
10.(2020江西南昌高三月考)有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,不同的分配方案的种数为( )
A.680 B.816 C.1360 D.1456
11.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则选法总数为( )
A.C71C51C102 B.C71C51A102
C.C124-C74-C54 D.C71C51(C62+C41C61+C42)
12.(2020四川成都高考模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入三个不同的盒子中,若每个盒子放2个小球,其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中,则不同的方法共有( )
A.12种 B.16种 C.18种 D.36种
13.(2020湖南长沙高二期末)为全面贯彻党的教育方针,落实立德树人的根本任务,某学校积极推进教学改革,开发了8门校本课程,其中艺术类课程5门,劳动类课程3门.小明从8门课程中任选3门,其中劳动类课程至少选1门,则小明的选课方法共有 种.
14.如图,∠MON的边OM上有四个点A1,A2,A3,A4,边ON上有三个点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形的个数为 .
15.(2019河北石家庄高二期中)已知有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入五个盒子中,每个盒子内只投放一个球,若至少有两个球的编号与盒子的编号是相同的,则有多少种投放方法?
题组三 排列与组合的综合应用
16.(2020深圳外国语学校高三月考)某天四人乘坐高铁G77从武汉出发(G77只会在长沙、广州、深圳停),在每个停站点至少下一个人,则不同的下车方案有( )
A.24种 B.36种 C.81种 D.256种
17.(2020陕西咸阳高二期末)2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法共有 种.
18.(2020浙江绍兴高三月考)某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,则共有 种不同的安排方法.(用数字作答)
19.(2020河北保定高三月考)2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年,某县农业局为支持该县的扶贫工作,决定派出8名农技人员(5男3女),并分成两组,分配到2个贫困村进行扶贫工作,若每组至少3人,且每组都有男农技人员,则不同的分配方案共有 种.
20.(2019吉林长春高二期中)从1,2,…,7这7个数字中任取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问:
(1)一共能组成多少个不同的五位偶数?
(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有几个?(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数字表示)
能力提升练
题组一 组合数与组合数公式
1.(多选题)(2020山西大同高二期末,)若C202x-1=C20x+3,则x的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2019江苏启东中学高一期中,)计算:C20+C31+C42+C53+C64+…+C1816+C1917= .
3.(2020江苏南通高二期末,)已知Cx+1m+Cx+1m+1=Cnm,mnCnm=Cym+1(n≥2,n∈N+,m∈N+),则x= ,y= (结果用n表示).
4.(2020辽宁沈阳高二期末,)计算:C3n38-n+Cn+213n.
题组二 组合数的应用
5.(2020河北衡水中学高三月考,)区块链是数据存储、传输、加密算法等计算机技术的新型应用模式,图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点,有的点与点之间有边相连,有的没有边相连,边可以是直线段,也可以是曲线段,我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点,都至少存在另外一个点与之相连).现有A,B,C,D四个点,若图中恰有3条边,则满足上述条件的图的个数为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
6.(2020浙江杭州高三月考,)小明同学去文具店购买文具,现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择),单价均为1元,小明只有8元钱且要求全部花完,则不同的选法共有( )
A.70种 B.165种 C.280种 D.1860种
7.(2020江西赣州高二期末,)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A、B两个专业各需要一门科目满足要求即可,A专业:物理、化学、技术;B专业:历史、地理、技术,若考生小李今年打算报考该高校这两个专业,则小李的不同选考方式有 种.(用数字作答)
8.(2020上海七宝中学高二期末,)在某次数学考试中,学号为i(i=1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93},且满足f(1)≤f(2)9.(2020浙江浙北四校高三二模,)给下图染色,每个小方格染一种颜色,有公共边的小方格颜色不能相同,则用4种颜色染色的方案共有 种,用5种颜色染色的方案共有 种.(颜色可以不用完)
题组三 排列、组合的综合应用
10.(多选题)(2020河北唐山高二期末,)今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员为庆祝圆满完成“抗疫”任务,站成一排合影留念,则下列说法错误的是( )
A.最高的人站中间且两边身高递减的所有排列个数为70
B.若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4(从高到低排第四)的医护人员和最高的医护人员相邻的排列个数是63
C.排成一排,其中甲不在排首,乙不在排尾的所有排列个数是A88+C71C71A77
D.甲、乙都和丙挨着站的所有排列个数为A33A77
11.(多选题)(2020北京海淀高二下期末,)下列说法正确的是( )
A.有大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,共有56种不同的排法
B.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,那么可以组成576种不同的三位数
C.有甲、乙、丙3项任务,甲需要2人承担,乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有1260种
D.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有660种不同的选法
12.(2020河南商丘高二期中,)从射击、乒乓球、跳水、田径四个项目的某届奥运冠军中选出6名做“夺冠之路”的励志报告.若每个项目中至少选派一人,则名额分配情况有 种;若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校做报告,每个院校至少一名冠军,则有 种不同的分配方法.
答案全解全析
基础过关练
1.B 判断一个问题是不是组合问题,关键是看该问题是否与顺序有关,由于减法与除法不满足交换律,取出的两个数就与顺序有关,因此不是组合问题,故C、D选项中不是组合问题;加法与乘法满足交换律,与取出的两个数的顺序无关,但是由于给出的8个数中,5+11=3+13、11+19=13+17等,故相加,可以得到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题,只有相乘,可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题,故选B.
2.BCD 对于A,令n=3,m=1,可得等式C31=13C20不成立,故A错误;
对于B,由组合数的计算公式知Cnm=n!(n-m)!m!,故B正确;
对于C,由排列数与组合数的公式知AnmCnm=n!(n-m)!×m!(n-m)!n!=m!,故C正确;
对于D,Anm+mAnm-1=n!(n-m)!+m·n!(n-m+1)!=(n+1)!(n-m+1)!=An+1m,故D正确.
故选BCD.
3.D 2An2=3Cn3,则2n(n-1)=3×n(n-1)(n-2)3×2×1,整理,得4=n-2,解得n=6,故选D.
4.D Cn2A22=n(n-1)2×2=42,解得n=7或n=-6(舍去),则n!3!(n-4)!=7!3!×3!=7×6×5×4×3×2×13×2×1×3×2×1=140,故选D.
5.答案 C20214
解析 C33=C44,C44+C43=C54,C54+C53=C64,C64+C63=C74,……,C20204+C20203=C20214,
∴C33+C43+C53+…+C20193+C20203=C20214.
公式运用
组合数重要的性质:Cnm+Cnm-1=Cn+1m.
6.答案 165
解析 由组合数的性质可得,
C22+C32+…+C102=C33+C32+…+C102=C43+C42+…+C102=C113=11×10×93×2×1=165.
7.解析 (1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关,所以它是组合问题.
(2)因为车票与起点、终点顺序有关,例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同,所以它是排列问题.
(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书并不考虑书的顺序,所以它是组合问题.
(4)因为从5种不同的工作中选出3种,按一定顺序分给三个人去做,所以它是排列问题.
(5)因为3本书是相同的,把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序,所以它是组合问题.
8.解析 (1)由题意得,5-n≤n,5-n≥0,9-n≤n+1,9-n≥0,解得4≤n≤5,∵n∈N+,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式=C41+C55=5;
当n=5时,原式=C50+C64=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得,m!(5-m)!5!-m!(6-m)!6!=7m!(7-m)!10×7!,
即10m=(7-m)(6-m),
整理得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,∴C8m=C82=28.
9.证明 Cnk·Cn-km-k=n!k!(n-k)!·(n-k)!(m-k)!(n-m)!=n!k!(m-k)!(n-m)!,
Cnm·Cmk=n!m!(n-m)!·m!k!(m-k)!=n!k!(n-m)!(m-k)!,
所以Cnk·Cn-km-k=Cnm·Cmk.
10.A 先给每个小朋友分3个苹果,然后将剩余的18个苹果利用“隔板法”分配.剩余18个苹果每人至少1个苹果,则18个苹果有17个空,插入三个“板”,即将苹果分成四堆,共有C173=680种方法.故选A.
11.C 任选4人的方法数为C124,其中全部为男生或全部为女生的方法数为C74+C54,故选法总数为C124-C74-C54.故选C.
12.C 先从三个盒子中选一个放标号为1,2的小球,有3种不同的选法,再从剩下的4个小球中选2个,放入剩下的其中一个盒子有C42种放法,余下的放入最后一个盒子,则不同的方法共有3C42=18种,故选C.
13.答案 46
解析 从8门课程中任选3门课程的种数减去没有劳动类课程即只有艺术类课程的种数即可.故小明的选课方法共有C83-C53=46种.
14.答案 42
解析 先从这8个点中任取3个点,有C83种情况,再减去三点共线的情况即可.故所求三角形的个数为C83-C53-C43=42.
15.解析 分三类:
第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;
第二类,只有三个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C53种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有C53×1=10种;
第三类,只有两个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C52种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有C52×2=20种.
根据分类加法计数原理,得所有的投放方法有1+10+20=31种.
16.B 依据题意,有三个站点,在每个停的站点至少下一个人,先将4人分成三组,有C42种分法,再将分好的三组分配到三个站点,有A33种分法,所以一共有C42A33=36种不同的下车方案,故选B.
17.答案 90
解析 根据题意,首先将6人平均分成3组,有C62C42C22A33=15种分组方法,将分好的三组对应甲、乙、丙三个贫困县,有A33=6种情况,则有15×6=90种派出方法.
易错警示
平均分组,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有选法为C42A22=3种,即四个人A、B、C、D两个人为一组的选法有:(AB)和(CD),(AC)和(BD),(AD)和(BC).学生错认为是C42,因为四个里面选两个包括(AB)和(CD),(CD)和(AB),而(AB)和(CD)与(CD)和(AB)是同一组,所以除以A22,那么六个人平均分成三组的所有选法为C62C42C22A33.
18.答案 150
解析 将五人分成三组,则三组的人数分别为“1,1,3”或“1,2,2”,则分组方法为C53+C52C32A22=25种,再将三组分配给三个房间为A33,由分步乘法计数原理可知,不同的安排方法有25×A33=150种.
19.答案 180
解析 分配的方案有两类,第一类:用间接法,一组3人,另一组5人,有(C83-1)·A22=110种分配方案;第二类:两组均为4人,有C84C44A22·A22=70种分配方案,所以共有N=110+70=180种不同的分配方案.
20.解析 (1)五位偶数共有C32C43A21A44=576(个).
(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有C32C43A22A44=576(个).
(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有C32C43A22A33=144(个).
能力提升练
1.AC 因为C202x-1=C20x+3,所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=20,所以x=4或x=6,故选AC.
2.答案 1140
解析 C20+C31+C42+C53+C64+…+C1816+C1917
=C22+C32+C42+C52+C62+…+C182+C192,
∵Cn2=Cn+13-Cn3(n≥2且n∈N+),
∴C22+C32+C42+…+C192=C33+(C43-C33)+(C53-C43)+…+(C203-C193)=C203=20×19×183×2×1=1140.
3.答案 n-2;n-1
解析 Cx+1m+Cx+1m+1=Cx+2m+1=Cnm⇒
x+2=n,m+1+m=n⇒x=n-2,mnCnm=mn·n!m!(n-m)!=(n-1)!(m-1)!(n-m)!=Cn-1m-1=Cym+1⇒n-1=y,m-1+m+1=n-1⇒
y=n-1.
4.解析 由题意得3n≥38-n,n+21≥3n,n∈N+,
解得192≤n≤212,
又由3n∈N+,38-n∈N,n+21∈N+,解得n=10,
∴C3n38-n+Cn+213n=C3028+C3130=C302+C311=466.
5.D 如图,A,B,C,D四点最多可确定AB,AC,AD,BC,BD,CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点,当A为孤立点时,三边为BC,BD,CD;当B为孤立点时,三边为AC,AD,CD;当C为孤立点时,三边为AB,AD,BD,当D为孤立点时,三边为AB,AC,BC.利用间接法,去掉这四种不符合条件的结果,所以满足条件的图有C63-4=16(个).故选D.
6.B 若只选一种,则有4种选法;若选两种,则有C42C71=42种选法;若选三种,则有C43C72=84种选法;若选四种,则有C73=35种选法.故共有4+42+84+35=165种选法.故选B.
7.答案 27
解析 根据题意分情况讨论:当小李选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的六科中选择两科即可,有C62=15种方法;当小李不选择技术时,可以先从物理、化学中选择一科,再从历史、地理中选择一科,最后从政治、生物中选择一科,有2×2×2=8种方法;当小李同时选择物理、化学时,还需要从历史、地理中选择一科,有2种方法;当小李同时选择历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,也有2种方法.
综上,共有15+8+2+2=27种不同的选考方式.
8.答案 15
解析 由题意,分2种情况讨论:
当f(1)=f(2)当f(1)所以一共有10+5=15种可能的情况.
9.答案 252;1040
解析 将方格标上字母,如图所示.
(1)根据题意,当用4种颜色染色时,先对A、B区域染色,有C41C31种,再对C染色:①当C同B时,有C21C21种;②当C同A时,有C31+C21C21种;③当C不同A、B时,有C21·(C31+C21)种.综合①②③,共有C41C31·[C21C21+C31+C21C21+C21(C31+C21)]=252种.
(2)根据题意,当用5种颜色染色时,先给A、B区域染色,有C51C41种,再对C染色:①当C同B时,有C31C31种;②当C同A时,有C41+C31C31种;③当C不同A、B时,有C31(C41+C21C31)种.综合①②③,共有C51C41·[C31C31+C41+C31C31+C31(C41+C21C31)]=1040种.
10.BD A项中,若最高的人站中间,则最高的这个人是确定的,还剩其余8个人,从中任选4个人出来是C84,身高按从高到低排列是固定的,剩余的4个人身高也是固定的,只有1种排法,所以最高的人站中间且两边身高递减的所有排列个数为C84=70,故A中说法正确;
B项中,将身高从低到高的9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,首先9号必须排在正中间,当排名第4的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有C53=10种,同理,当排名第4的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,所以身高排名第4的医护人员和最高的医护人员相邻的排法有10+10=20种,故B中说法错误;
C项中,①当甲在排尾时,剩下的8个人全排列,是A88,②当甲既不在排首也不在排尾时,从七个位置选一个给甲是C71,甲占了一个位置,乙又不能在排尾,所以从剩下的七个位置里选一个给乙是C71,甲、乙排完后还剩7个人全排列即可,是A77,所以排成一排,其中甲不在排首,乙不在排尾的所有排列个数为A88+C71C71A77,故C中说法正确;
D项中,甲、乙都和丙挨着站说明丙在中间,甲、乙在丙的两边,是A22,将这3个人看成一个元素,和剩下的6个人组成七个元素,全排列是A77,所以甲、乙都和丙挨着站的所有排列个数为A22A77,故D中说法错误.
11.AD A项中,有大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,一共有八个位置,从中选三个位置放红球,剩下的位置放白球,则有C83=56种不同的排法,所以A正确.
B项中,九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,可以分为两类情况:①若取出6,则有2(C72A33+C71C21A22)种方法;②若不取6,则有C71A72种方法.根据分类加法计数原理,一共有2(C72·A33+C71C21A22)+C71A72=602种方法.故B错误.
C项中,分三步完成:首先从10人中选出4人,有C104种选法,再从这4人中选出2人承担任务甲,有C42种选法,剩下的2人去承担任务乙、丙,有A22种选法,所以共有C104C42A22=2520种不同的选法.故C错误.
D项中,解法一:只有1名女生时,先选1名女生,有C21种选法,再选3名男生,有C63种选法,然后排队长、副队长位置,有A42种选法,由分步乘法计数原理知,共有C21C63A42=480种选法;有2名女生时,有C22种选法,再选2名男生,有C62种选法,然后排队长、副队长位置,有A42种选法,由分步乘法计数原理知,共有C22C62A42=180种选法.所以依据分类加法计数原理知,共有480+180=660种不同的选法.解法二:不考虑限制条件,共有A82C62种不同的选法,而没有女生的选法有A62C42种,故至少有1名女生的选法有A82C62-A62C42=840-180=660种,故D正确.
12.答案 10;7800
解析 名额分配只与人数有关,与不同的人无关.每个项目选派一人,则还剩两个名额,当剩余两人出自一个项目时,名额分配情况有4种;当剩余两人出自不同项目时,名额分配情况有C42=6种,所以共有4+6=10种名额分配情况.从5个院校中选4个院校做报告,将6名冠军先组合,再进行排列,则有C54×C63+C62C42A22×A44=7800种分配方法.
3.2 组合数及其性质
基础过关练
题组一 组合与组合数公式
1.从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两个,则下列问题是组合问题的为( )
A.相加,可以得到多少个不同的和
B.相乘,可以得到多少个不同的积
C.相减,可以得到多少个不同的差
D.相除,可以得到多少个不同的商
2.(多选题)(2020山东德州高二下月考)下列关系中,能成立的是( )
A.Cnm=mnCn-1m-1 B.Cnm=n!(n-m)!m!
C.m!=AnmCnm D.Anm+mAnm-1=An+1m
3.(2020福建宁德高二期末)若2An2=3Cn3,则n=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
4.(2020河北保定高二月考)若Cn2A22=42,则n!3!(n-4)!的值为( )
A.60 B.70 C.120 D.140
5.(2020湖南长沙高二期中)C33+C43+C53+…+C20193+C20203= .(用组合数表示即可)
6.C22+C32+…+C102= .
7.判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)若集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票?
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学;
(4)三个人去做5种不同的工作,每人做1种,有多少种分工方法?
(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法?
8.(1)求值Cn5-n+Cn+19-n;
(2)已知1C5m-1C6m=710C7m,求C8m.
9.证明:Cnk·Cn-km-k=Cnm·Cmk.
题组二 组合的简单应用
10.(2020江西南昌高三月考)有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,不同的分配方案的种数为( )
A.680 B.816 C.1360 D.1456
11.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则选法总数为( )
A.C71C51C102 B.C71C51A102
C.C124-C74-C54 D.C71C51(C62+C41C61+C42)
12.(2020四川成都高考模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入三个不同的盒子中,若每个盒子放2个小球,其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中,则不同的方法共有( )
A.12种 B.16种 C.18种 D.36种
13.(2020湖南长沙高二期末)为全面贯彻党的教育方针,落实立德树人的根本任务,某学校积极推进教学改革,开发了8门校本课程,其中艺术类课程5门,劳动类课程3门.小明从8门课程中任选3门,其中劳动类课程至少选1门,则小明的选课方法共有 种.
14.如图,∠MON的边OM上有四个点A1,A2,A3,A4,边ON上有三个点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形的个数为 .
15.(2019河北石家庄高二期中)已知有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入五个盒子中,每个盒子内只投放一个球,若至少有两个球的编号与盒子的编号是相同的,则有多少种投放方法?
题组三 排列与组合的综合应用
16.(2020深圳外国语学校高三月考)某天四人乘坐高铁G77从武汉出发(G77只会在长沙、广州、深圳停),在每个停站点至少下一个人,则不同的下车方案有( )
A.24种 B.36种 C.81种 D.256种
17.(2020陕西咸阳高二期末)2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法共有 种.
18.(2020浙江绍兴高三月考)某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间,每个房间至少住1人,则共有 种不同的安排方法.(用数字作答)
19.(2020河北保定高三月考)2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年,某县农业局为支持该县的扶贫工作,决定派出8名农技人员(5男3女),并分成两组,分配到2个贫困村进行扶贫工作,若每组至少3人,且每组都有男农技人员,则不同的分配方案共有 种.
20.(2019吉林长春高二期中)从1,2,…,7这7个数字中任取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问:
(1)一共能组成多少个不同的五位偶数?
(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有几个?(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数字表示)
能力提升练
题组一 组合数与组合数公式
1.(多选题)(2020山西大同高二期末,)若C202x-1=C20x+3,则x的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2019江苏启东中学高一期中,)计算:C20+C31+C42+C53+C64+…+C1816+C1917= .
3.(2020江苏南通高二期末,)已知Cx+1m+Cx+1m+1=Cnm,mnCnm=Cym+1(n≥2,n∈N+,m∈N+),则x= ,y= (结果用n表示).
4.(2020辽宁沈阳高二期末,)计算:C3n38-n+Cn+213n.
题组二 组合数的应用
5.(2020河北衡水中学高三月考,)区块链是数据存储、传输、加密算法等计算机技术的新型应用模式,图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点,有的点与点之间有边相连,有的没有边相连,边可以是直线段,也可以是曲线段,我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点,都至少存在另外一个点与之相连).现有A,B,C,D四个点,若图中恰有3条边,则满足上述条件的图的个数为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
6.(2020浙江杭州高三月考,)小明同学去文具店购买文具,现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择),单价均为1元,小明只有8元钱且要求全部花完,则不同的选法共有( )
A.70种 B.165种 C.280种 D.1860种
7.(2020江西赣州高二期末,)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A、B两个专业各需要一门科目满足要求即可,A专业:物理、化学、技术;B专业:历史、地理、技术,若考生小李今年打算报考该高校这两个专业,则小李的不同选考方式有 种.(用数字作答)
8.(2020上海七宝中学高二期末,)在某次数学考试中,学号为i(i=1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93},且满足f(1)≤f(2)
题组三 排列、组合的综合应用
10.(多选题)(2020河北唐山高二期末,)今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员为庆祝圆满完成“抗疫”任务,站成一排合影留念,则下列说法错误的是( )
A.最高的人站中间且两边身高递减的所有排列个数为70
B.若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4(从高到低排第四)的医护人员和最高的医护人员相邻的排列个数是63
C.排成一排,其中甲不在排首,乙不在排尾的所有排列个数是A88+C71C71A77
D.甲、乙都和丙挨着站的所有排列个数为A33A77
11.(多选题)(2020北京海淀高二下期末,)下列说法正确的是( )
A.有大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,共有56种不同的排法
B.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,那么可以组成576种不同的三位数
C.有甲、乙、丙3项任务,甲需要2人承担,乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有1260种
D.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有660种不同的选法
12.(2020河南商丘高二期中,)从射击、乒乓球、跳水、田径四个项目的某届奥运冠军中选出6名做“夺冠之路”的励志报告.若每个项目中至少选派一人,则名额分配情况有 种;若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校做报告,每个院校至少一名冠军,则有 种不同的分配方法.
答案全解全析
基础过关练
1.B 判断一个问题是不是组合问题,关键是看该问题是否与顺序有关,由于减法与除法不满足交换律,取出的两个数就与顺序有关,因此不是组合问题,故C、D选项中不是组合问题;加法与乘法满足交换律,与取出的两个数的顺序无关,但是由于给出的8个数中,5+11=3+13、11+19=13+17等,故相加,可以得到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题,只有相乘,可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题,故选B.
2.BCD 对于A,令n=3,m=1,可得等式C31=13C20不成立,故A错误;
对于B,由组合数的计算公式知Cnm=n!(n-m)!m!,故B正确;
对于C,由排列数与组合数的公式知AnmCnm=n!(n-m)!×m!(n-m)!n!=m!,故C正确;
对于D,Anm+mAnm-1=n!(n-m)!+m·n!(n-m+1)!=(n+1)!(n-m+1)!=An+1m,故D正确.
故选BCD.
3.D 2An2=3Cn3,则2n(n-1)=3×n(n-1)(n-2)3×2×1,整理,得4=n-2,解得n=6,故选D.
4.D Cn2A22=n(n-1)2×2=42,解得n=7或n=-6(舍去),则n!3!(n-4)!=7!3!×3!=7×6×5×4×3×2×13×2×1×3×2×1=140,故选D.
5.答案 C20214
解析 C33=C44,C44+C43=C54,C54+C53=C64,C64+C63=C74,……,C20204+C20203=C20214,
∴C33+C43+C53+…+C20193+C20203=C20214.
公式运用
组合数重要的性质:Cnm+Cnm-1=Cn+1m.
6.答案 165
解析 由组合数的性质可得,
C22+C32+…+C102=C33+C32+…+C102=C43+C42+…+C102=C113=11×10×93×2×1=165.
7.解析 (1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关,所以它是组合问题.
(2)因为车票与起点、终点顺序有关,例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同,所以它是排列问题.
(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书并不考虑书的顺序,所以它是组合问题.
(4)因为从5种不同的工作中选出3种,按一定顺序分给三个人去做,所以它是排列问题.
(5)因为3本书是相同的,把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序,所以它是组合问题.
8.解析 (1)由题意得,5-n≤n,5-n≥0,9-n≤n+1,9-n≥0,解得4≤n≤5,∵n∈N+,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式=C41+C55=5;
当n=5时,原式=C50+C64=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得,m!(5-m)!5!-m!(6-m)!6!=7m!(7-m)!10×7!,
即10m=(7-m)(6-m),
整理得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,∴C8m=C82=28.
9.证明 Cnk·Cn-km-k=n!k!(n-k)!·(n-k)!(m-k)!(n-m)!=n!k!(m-k)!(n-m)!,
Cnm·Cmk=n!m!(n-m)!·m!k!(m-k)!=n!k!(n-m)!(m-k)!,
所以Cnk·Cn-km-k=Cnm·Cmk.
10.A 先给每个小朋友分3个苹果,然后将剩余的18个苹果利用“隔板法”分配.剩余18个苹果每人至少1个苹果,则18个苹果有17个空,插入三个“板”,即将苹果分成四堆,共有C173=680种方法.故选A.
11.C 任选4人的方法数为C124,其中全部为男生或全部为女生的方法数为C74+C54,故选法总数为C124-C74-C54.故选C.
12.C 先从三个盒子中选一个放标号为1,2的小球,有3种不同的选法,再从剩下的4个小球中选2个,放入剩下的其中一个盒子有C42种放法,余下的放入最后一个盒子,则不同的方法共有3C42=18种,故选C.
13.答案 46
解析 从8门课程中任选3门课程的种数减去没有劳动类课程即只有艺术类课程的种数即可.故小明的选课方法共有C83-C53=46种.
14.答案 42
解析 先从这8个点中任取3个点,有C83种情况,再减去三点共线的情况即可.故所求三角形的个数为C83-C53-C43=42.
15.解析 分三类:
第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;
第二类,只有三个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C53种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有C53×1=10种;
第三类,只有两个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C52种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有C52×2=20种.
根据分类加法计数原理,得所有的投放方法有1+10+20=31种.
16.B 依据题意,有三个站点,在每个停的站点至少下一个人,先将4人分成三组,有C42种分法,再将分好的三组分配到三个站点,有A33种分法,所以一共有C42A33=36种不同的下车方案,故选B.
17.答案 90
解析 根据题意,首先将6人平均分成3组,有C62C42C22A33=15种分组方法,将分好的三组对应甲、乙、丙三个贫困县,有A33=6种情况,则有15×6=90种派出方法.
易错警示
平均分组,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有选法为C42A22=3种,即四个人A、B、C、D两个人为一组的选法有:(AB)和(CD),(AC)和(BD),(AD)和(BC).学生错认为是C42,因为四个里面选两个包括(AB)和(CD),(CD)和(AB),而(AB)和(CD)与(CD)和(AB)是同一组,所以除以A22,那么六个人平均分成三组的所有选法为C62C42C22A33.
18.答案 150
解析 将五人分成三组,则三组的人数分别为“1,1,3”或“1,2,2”,则分组方法为C53+C52C32A22=25种,再将三组分配给三个房间为A33,由分步乘法计数原理可知,不同的安排方法有25×A33=150种.
19.答案 180
解析 分配的方案有两类,第一类:用间接法,一组3人,另一组5人,有(C83-1)·A22=110种分配方案;第二类:两组均为4人,有C84C44A22·A22=70种分配方案,所以共有N=110+70=180种不同的分配方案.
20.解析 (1)五位偶数共有C32C43A21A44=576(个).
(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有C32C43A22A44=576(个).
(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有C32C43A22A33=144(个).
能力提升练
1.AC 因为C202x-1=C20x+3,所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=20,所以x=4或x=6,故选AC.
2.答案 1140
解析 C20+C31+C42+C53+C64+…+C1816+C1917
=C22+C32+C42+C52+C62+…+C182+C192,
∵Cn2=Cn+13-Cn3(n≥2且n∈N+),
∴C22+C32+C42+…+C192=C33+(C43-C33)+(C53-C43)+…+(C203-C193)=C203=20×19×183×2×1=1140.
3.答案 n-2;n-1
解析 Cx+1m+Cx+1m+1=Cx+2m+1=Cnm⇒
x+2=n,m+1+m=n⇒x=n-2,mnCnm=mn·n!m!(n-m)!=(n-1)!(m-1)!(n-m)!=Cn-1m-1=Cym+1⇒n-1=y,m-1+m+1=n-1⇒
y=n-1.
4.解析 由题意得3n≥38-n,n+21≥3n,n∈N+,
解得192≤n≤212,
又由3n∈N+,38-n∈N,n+21∈N+,解得n=10,
∴C3n38-n+Cn+213n=C3028+C3130=C302+C311=466.
5.D 如图,A,B,C,D四点最多可确定AB,AC,AD,BC,BD,CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点,当A为孤立点时,三边为BC,BD,CD;当B为孤立点时,三边为AC,AD,CD;当C为孤立点时,三边为AB,AD,BD,当D为孤立点时,三边为AB,AC,BC.利用间接法,去掉这四种不符合条件的结果,所以满足条件的图有C63-4=16(个).故选D.
6.B 若只选一种,则有4种选法;若选两种,则有C42C71=42种选法;若选三种,则有C43C72=84种选法;若选四种,则有C73=35种选法.故共有4+42+84+35=165种选法.故选B.
7.答案 27
解析 根据题意分情况讨论:当小李选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的六科中选择两科即可,有C62=15种方法;当小李不选择技术时,可以先从物理、化学中选择一科,再从历史、地理中选择一科,最后从政治、生物中选择一科,有2×2×2=8种方法;当小李同时选择物理、化学时,还需要从历史、地理中选择一科,有2种方法;当小李同时选择历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,也有2种方法.
综上,共有15+8+2+2=27种不同的选考方式.
8.答案 15
解析 由题意,分2种情况讨论:
当f(1)=f(2)
9.答案 252;1040
解析 将方格标上字母,如图所示.
(1)根据题意,当用4种颜色染色时,先对A、B区域染色,有C41C31种,再对C染色:①当C同B时,有C21C21种;②当C同A时,有C31+C21C21种;③当C不同A、B时,有C21·(C31+C21)种.综合①②③,共有C41C31·[C21C21+C31+C21C21+C21(C31+C21)]=252种.
(2)根据题意,当用5种颜色染色时,先给A、B区域染色,有C51C41种,再对C染色:①当C同B时,有C31C31种;②当C同A时,有C41+C31C31种;③当C不同A、B时,有C31(C41+C21C31)种.综合①②③,共有C51C41·[C31C31+C41+C31C31+C31(C41+C21C31)]=1040种.
10.BD A项中,若最高的人站中间,则最高的这个人是确定的,还剩其余8个人,从中任选4个人出来是C84,身高按从高到低排列是固定的,剩余的4个人身高也是固定的,只有1种排法,所以最高的人站中间且两边身高递减的所有排列个数为C84=70,故A中说法正确;
B项中,将身高从低到高的9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,首先9号必须排在正中间,当排名第4的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有C53=10种,同理,当排名第4的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,所以身高排名第4的医护人员和最高的医护人员相邻的排法有10+10=20种,故B中说法错误;
C项中,①当甲在排尾时,剩下的8个人全排列,是A88,②当甲既不在排首也不在排尾时,从七个位置选一个给甲是C71,甲占了一个位置,乙又不能在排尾,所以从剩下的七个位置里选一个给乙是C71,甲、乙排完后还剩7个人全排列即可,是A77,所以排成一排,其中甲不在排首,乙不在排尾的所有排列个数为A88+C71C71A77,故C中说法正确;
D项中,甲、乙都和丙挨着站说明丙在中间,甲、乙在丙的两边,是A22,将这3个人看成一个元素,和剩下的6个人组成七个元素,全排列是A77,所以甲、乙都和丙挨着站的所有排列个数为A22A77,故D中说法错误.
11.AD A项中,有大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,一共有八个位置,从中选三个位置放红球,剩下的位置放白球,则有C83=56种不同的排法,所以A正确.
B项中,九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,可以分为两类情况:①若取出6,则有2(C72A33+C71C21A22)种方法;②若不取6,则有C71A72种方法.根据分类加法计数原理,一共有2(C72·A33+C71C21A22)+C71A72=602种方法.故B错误.
C项中,分三步完成:首先从10人中选出4人,有C104种选法,再从这4人中选出2人承担任务甲,有C42种选法,剩下的2人去承担任务乙、丙,有A22种选法,所以共有C104C42A22=2520种不同的选法.故C错误.
D项中,解法一:只有1名女生时,先选1名女生,有C21种选法,再选3名男生,有C63种选法,然后排队长、副队长位置,有A42种选法,由分步乘法计数原理知,共有C21C63A42=480种选法;有2名女生时,有C22种选法,再选2名男生,有C62种选法,然后排队长、副队长位置,有A42种选法,由分步乘法计数原理知,共有C22C62A42=180种选法.所以依据分类加法计数原理知,共有480+180=660种不同的选法.解法二:不考虑限制条件,共有A82C62种不同的选法,而没有女生的选法有A62C42种,故至少有1名女生的选法有A82C62-A62C42=840-180=660种,故D正确.
12.答案 10;7800
解析 名额分配只与人数有关,与不同的人无关.每个项目选派一人,则还剩两个名额,当剩余两人出自一个项目时,名额分配情况有4种;当剩余两人出自不同项目时,名额分配情况有C42=6种,所以共有4+6=10种名额分配情况.从5个院校中选4个院校做报告,将6名冠军先组合,再进行排列,则有C54×C63+C62C42A22×A44=7800种分配方法.
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