2　导数的概念及其几何意义-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

第二章　导数及其应用

§2　导数的概念及其几何意义

2.1　导数的概念

2.2　导数的几何意义

基础过关练

题组一　导数的概念

1.汽车在笔直公路上行驶,如果v(t)表示时刻t的速度,则导数v'(t0)表示 (　　)

A.当t=t0时汽车的瞬时加速度

B.当t=t0时汽车的瞬时速度

C.当t=t0时汽车的路程变化率

D.当t=t0时汽车与起点的距离

2.若f(x)=x3, f'(x0)=3,则x0的值是 (　　)

A.1 B.-1 C.±1 D.3

3.(2021安徽马鞍山二中高二下月考)设f(x)为R上的可导函数,且满足=-1,则f'(1)为              (　　)

A.2 B.-1 C.1 D.-2

4.已知函数y=f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=　　　　.  

5.求函数y=在x=0处的导数.

题组二　导数的几何意义及其应用

6.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)

A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率

B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

7.(2021黑龙江哈尔滨九中高二下月考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是              (　　)

A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)

B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)

C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)

D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

题组三　曲线的切线方程及应用

8.(2021吉林吉化一中高二上月考)曲线y=x-x2在点(1,0)处的切线方程是 (　　)

A.x-2y-1=0 B.x+2y-1=0

C.x-y-1=0 D.x+y-1=0

9.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则 (　　)

A.a=-1,b=1 B.a=1,b=-1

C.a=-2,b=1 D.a=2,b=-1

10.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是　　　　　　. 

11.(2021湖南长郡十五校高三下联考)若曲线y=f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标为　　　　.易错 

12.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.

答案全解全析

§2　导数的概念及其几何意义

2.1　导数的概念

2.2　导数的几何意义

基础过关练

1.A　由导数的概念可知,v'(t0)表示当t=t0时汽车的瞬时加速度,故选A.

2.C　∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-=3·Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3,

∴=3+3x0·Δx+(Δx)2,∴f'(x0)=[3+3x0·Δx+(Δx)2]=3,

∵f'(x0)=3,∴3=3,∴x0=±1.故选C.

3.D　根据导数的概念得==f'(1)=-1,所以f'(1)=-2,故选D.

4.答案　2

解析　由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,

∴=a,∴f'(1)=a=2.

5.解析　Δy=-=-1==,

∴=,∴==0.

6.D　∵f(x)在a到b之间的平均变化率是,g(x)在a到b之间的平均变化率是,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴=,∴A、B错误;

易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,

同理,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,

由题中图象知C错误,D正确.故选D.

7.C　易知f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点B)处切线的斜率, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点A)处切线的斜率,=f(3)-f(2)=kAB是割线AB的斜率.

由题图知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选C.

8.D　==(-1-Δx)=-1,故此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=-1×(x-1),即x+y-1=0,故选D.

9.B　由题意得f'(1)====2+a.

∵曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,

∴2+a=3,解得a=1.

又∵点(1,1)在曲线y=x2+ax+b上,

∴1+a+b=1,解得b=-1.故选B.

10.答案　2x+y-5=0

解析　由题意知,所求切线的斜率k=-2.

∴曲线y=f(x)在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

11.答案　(-1,1)

解析　设点P的坐标为(x0,-2x0),则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k= f'(x0)=

=

=

=[3+3x0Δx-2+(Δx)2]

=3-2.

因为曲线y=f(x)在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,所以f'(x0)=1,即3-2=1,解得x0=±1.

当x0=1时,点P的坐标为(1,-1),则切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与已知直线重合,不符合题意;当x0=-1时,点P的坐标为(-1,1),则切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与已知直线平行.

综上所述,点P的坐标为(-1,1).

易错警示

本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验.

12.解析　===3xΔx+3x2+(Δx)2,

则=3x2,因此y'=3x2.

设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,+1),根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为3,过点M和点P的切线的斜率为=,则3=,解得x0=0或x0=,所以切线的斜率为0或,因此过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.