北师大版数学·必修2 圆与圆的方程习题课 试卷

圆与圆的方程习题课

A级　基础巩固

一、选择题

1．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为(　D　)

A．9　　　　　　　　　　 B．8

C．5 D．2

[解析]　圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝5.又r＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．

2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　B　)

A．R B．(－∞，1)

C．(－∞，1] D．[1，＋∞)

[解析]　∵D2＋E2－4F>0，∴16＋4－20k>0，

∴k<1，故选B．

3．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是(　C　)

A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)

C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[解析]　因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k>0，解得k<2.又由题意知，要使P在圆外，则k>－2，故－2<k<2，故选C．

4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　A　)

A．－ B．－

C． D．2

[解析]　配方得(x－1)2＋(y－4)2＝4，

∴圆心为C(1,4)．

由条件知＝1.解之得a＝－．

故选A．

5．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有且仅有(　C　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

[解析]　圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2，

∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，

故两圆外切，公切线有3条．

二、填空题

6．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__2__．

[解析]　本题考查直线与圆的位置关系．

依题意，圆心O(0,0)到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×sin45°＝，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2．

7．(2018·江苏省启东中学期中)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为__(x－3)2＋(y＋1)2＝16__．

[解析]　解法1　由

解得故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4x－6＝0的交点为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由解得所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．

解法2　同解法1，求得A(－1，－1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

由解得

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16．

解法3　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为，代入x－y－4＝0，得λ＝－．

故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16．

三、解答题

8．求圆心在直线4x＋y＝0上，且与直线l：x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．

[解析]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意有，

化简得，

解得.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以2为半径的圆．

9．(2017·金华高一检测)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．

(1)求a，b间的关系；

(2)求|PQ|的最小值．

[解析]　(1)连接OQ，OP，

则△OQP为直角三角形，

又|PQ|＝|PA|，

所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2

＝1＋|PA|2，

所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，

故2a＋b－3＝0．

(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，

所以|PQ|min＝＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　D　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，

则a<0，b>0.直线y＝－x－，其斜率k＝－>0，在y轴上的截距为－>0，所以直线不经过第四象限，故选D．

2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　B　)

A．5 B．10

C．15 D．20

[解析]　圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的圆的直径，则|AC|＝2.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|＝2＝2＝2.从而四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×2×2＝10．

二、填空题

3．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．

[解析]　设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．

4．若实数x、y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是__＋3__．

[解析]　关键是搞清式子的意义．实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以(x，y)为方程所表示的曲线上的动点.＝，表示动点(x，y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示以C(－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO交圆于点M，N，由圆的几何性质可知，MO的长即为所求的最大值．

三、解答题

5．求经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．

[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得，

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，

由已知得|x1－x2|＝6(其中x1、x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，∴D2－4F＝36　③

由①②③联立组成方程组，解得

，或．

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．

6．已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

[解析]　(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝{M||MA|＝|MB|}．

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，

所以x＝，y＝，

所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①

由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，

所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②

将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4．

所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．

C级　能力拔高

在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

[解析]　(1)解：不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，

则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2．

又点C的坐标为(0,1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x2－)．

由(1)可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－．

联立

又x＋mx2－2＝0，

可得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝．

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，

即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．