人教版新课标A第二章基本初等函数（Ⅰ）综合与测试当堂检测题

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这是一份人教版新课标A第二章基本初等函数（Ⅰ）综合与测试当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·济南济钢中学高一期中测试)若aA．eq \r(1－4a) B．－eq \r(4a－1)
C．eq \r(4a－1)D．－eq \r(1－4a)
[解析] ∵a∴eq \r(4,4a－12)＝eq \r(4,1－4a2)＝eq \r(1－4a).
2．计算lg225·lg52eq \r(2)的值是( A )
A．3B．4
C．5D．6
[解析] lg225·lg52eq \r(2)＝eq \f(lg25,lg2)·eq \f(lg2\r(2),lg5)
＝eq \f(2lg5,lg2)·eq \f(\f(3,2)lg2,lg5)＝3.
3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2xx>0,3xx≤0))，则f[f(eq \f(1,4))]的值是( B )
A．9B．eq \f(1,9)
C．－eq \f(1,9)D．－9
[解析] ∵x>0时，f(x)＝lg2x，
∴f(eq \f(1,4))＝lg2eq \f(1,4)＝lg22－2＝－2，
又∵x<0时，f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).
∴f[f(eq \f(1,4))]＝f(－2)＝eq \f(1,9).
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( A )
A．lg2xB．eq \f(1,2x)
C．lgeq \f(1,2)xD．2x－2
[解析] 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝lg2x.
5．(2019·山东潍坊高一期末测试)已知x＝lg5eq \f(1,2)，y＝(eq \f(1,2))0.1，z＝2 eq \s\up5(\f(1,3)) ，则( A )
A．xC．y[解析] lg5eq \f(1,2)20＝1，∴z>1，∴x6．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( C )
A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x
C．f(x)＝lg2xD．f(x)＝elnx
[解析] f(x)＝lg2x，∴f(x·y)＝lg2(x·y)＝lg2x＋lg2y＝f(x)＋f(y)，故选C．
7．函数f(x)＝eq \f(1,lnx＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( D )
A．[－2,2]B．(－1,2]
C．[－2,0)∪(0,2]D．(－1,0)∪(0,2]
[解析] 要使函数有意义，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0,4－x2≥0,x＋1≠1))，解得－18．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( A )
A．y＝2－eq \f(x,2)B．y＝eq \r(1－2x)
C．y＝x2＋x＋1D．y＝3eq \f(1,x＋1)
[解析] A，y＝2－ eq \s\up5(\f(x,2)) ＝(eq \f(\r(2),2))x的值域为(0，＋∞)．
B，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，
y＝eq \r(1－2x)的定义域是(－∞，0]，
所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，
所以y＝eq \r(1－2x)的值域是[0,1)．
C，y＝x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)的值域是[eq \f(3,4)，＋∞)，
D，因为eq \f(1,x＋1)∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以y＝3 eq \s\up4(\f(1,x+1)) 的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
9．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋lg22－x x<1,2x－1 x≥1))，则f(－2)＋f(lg212)＝( C )
A．3 B．6
C．9D．12
[解析] f(－2)＝1＋lg24＝3，f(lg212)＝2lg212－1＝2lg26＝6，
∴f(－2)＋f(lg212)＝9，故选C．
10．已知实数a，b满足等式(eq \f(1,2 018))a＝(eq \f(1,2 019))b，给出下列五个关系式：①0A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] 作出函数y＝(eq \f(1,2 018))x和y＝(eq \f(1,2 019))x的图象如图所示，
由图象可知，当a＝b＝0时，(eq \f(1,2 018))a＝(eq \f(1,2 019))b，当a11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2xx≥2,\f(1,2)x－1x＜2))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0成立，则实数a的取值范围为( B )
A．(－∞，2)B．(－∞，eq \f(13,8)]
C．(－∞，2]D．[eq \f(13,8)，2)
[解析] 由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＜0,a－2×2≤\f(1,2)2－1))，由此解得a≤eq \f(13,8)，即实数a的取值范围是(－∞，eq \f(13,8)]，选B．
12．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，eq \f(1,2))中，可以是“好点”的个数为( C )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[解析] 设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)，
显然不过点M、P，若设对数函数为y＝lgbx(b>0，b≠1)，显然不过N点，选C．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2019·大连市高一期末测试)已知4a＝2，lgeq \r(x)＝a，则x＝__10__.
[解析] ∵4a＝2，∴a＝eq \f(1,2)，
∴lgeq \r(x)＝eq \f(1,2)，∴eq \r(x)＝10 eq \s\up5(\f(1,2)) ＝eq \r(10)，
∴x＝10.
14．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝__64__.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由题意得8＝a3，∴a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(6)＝26＝64.
15．已知函数f(x)＝2lg eq \s\d8(\f(1,2)) x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是__[eq \f(\r(2),2)，eq \r(2)]__.
[解析] ∵－1≤2lgeq \f(1,2)x≤1，∴－eq \f(1,2)≤lg eq \s\d8(\f(1,2)) x≤eq \f(1,2).
∴lg eq \s\d8(\f(1,2)) (eq \f(1,2))－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)≤lgeq \f(1,2)x≤eq \f(1,2)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (eq \f(1,2))eq \f(1,2).
∵y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x为减函数．
∴eq \r(2)＝(eq \f(1,2)) eq \s\up5(\f(1,2)) ≤x≤(eq \f(1,2)) eq \s\up5(\f(1,2)) ＝eq \f(\r(2),2)，
∴f(x)的定义为[eq \f(\r(2),2)，eq \r(2)]．
16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤1,－xx>1))，若f(x)＝2，则x＝__lg32__.
[解析] 当x≤1时，f(x)＝3x＝2，
x＝lg32，满足题意；
当x>1时，f(x)＝－x＝2，
∴x＝－2不满足题意，
∴x＝lg32.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2019·安徽太和中学高一期中测试)计算下列各式的值：
(1)(eq \f(1,2))－2＋(eq \f(1,\r(2)))0－27eq \f(1,3)＋eq \r(3,8)；
(2)lg3eq \r(27)－lg3eq \r(3)＋lg25＋2lg2＋lne2.
[解析] (1)原式＝22＋1－(33)eq \f(1,3)＋eq \r(3,23)
＝4＋1－3＋2＝4.
(2)原式＝lg33 eq \s\up5(\f(3,2)) －lg33eq \f(1,2)＋lg25＋lg4＋2
＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＋lg100＋2
＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＋2＋2＝5.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(eq \f(1,2))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
[解析] (1)由已知得(eq \f(1,2))－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝(eq \f(1,2))x，又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝(eq \f(1,2))x，即(eq \f(1,4))x－(eq \f(1,2))x－2＝0，
即[(eq \f(1,2))x]2－(eq \f(1,2))x－2＝0，
令(eq \f(1,2))x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即(eq \f(1,2))x＝2，解得x＝－1.
19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝lg2(4x)·lg2(2x)的定义域为[eq \f(1,4)，4]．
(1)若t＝lg2x，求t的取值范围；
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
[解析] (1)∵eq \f(1,4)≤x≤4，∴－2≤lg2x≤2，
∴－2≤t≤2.
∴t的取值范围是[－2,2]．
(2)y＝f(x)＝lg2(4x)·lg2(2x)＝(2＋lg2x)(1＋lg2x)，
由(1)知t＝lg2x，t∈[－2,2]，
∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2
＝(t＋eq \f(3,2))2－eq \f(1,4).
当t＝－eq \f(3,2)，即lg2x＝－eq \f(3,2)，x＝eq \f(\r(2),4)时，ymin＝－eq \f(1,4)，
当t＝2，即lg2x＝2，x＝4时，ymax＝12.
20．(本小题满分12分)设a>0，f(x)＝eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解析] (1)因为f(x)＝eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)＝eq \f(e－x,a)＋eq \f(a,e－x)，故(eq \f(1,a)－a)(ex－e－x)＝0，又ex－e－x不可能恒为0，所以当eq \f(1,a)－a＝0时，f(x)＝f(－x)恒成立，故a＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)上任取x1又e>1，x1>0，x2>0，所以1≤e x10，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．
(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；
当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.
22．(本小题满分12分)若函数f(x)满足f(lgax)＝eq \f(a,a2－1)·(x－eq \f(1,x))(其中a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
[解析] (1)令lgax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝eq \f(a,a2－1)(at－a－t)．
∴f(x)＝eq \f(a,a2－1)(ax－a－x)(x∈R)．
∵f(－x)＝eq \f(a,a2－1)(a－x－ax)＝－eq \f(a,a2－1)(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且eq \f(a2,a2－1)＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且eq \f(a2,a2－1)＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即eq \f(a,a2－1)(a2－a－2)≤4.
∴eq \f(a,a2－1)(eq \f(a4－1,a2))≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－eq \r(3)≤a≤2＋eq \r(3).又a≠1，
∴a的取值范围为[2－eq \r(3)，1)∪(1,2＋eq \r(3)]．

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