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湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题
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单项选择
8.【分析】
先由图Ⅱ求出圆的周长，利用球的面积公式可求表面积.
【详解】设边长为
如右图，在正五边形中，内角为，边长为，
因为在正六边形中，内角为，边长为，正六边形的轴长为
所以大圆的周长为：
多项选择
10.解析：
A：根据题意和平面向量数量积的坐标表示可得且与不同向共线，求得，解之即可
B：由于，而，根据共面向量定理知，，，，四点共面，故B正确;
C：同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，故错误；
D：如下图，中，显然不是钝角三角形，故错误.
11.解析：
对于A选项，连接，则点为的中点，、平面，平面，
同理可知平面，所以，与不是异面直线，A选项错误；
对于C选项，四边形是边长为的正方形，，
平面平面，交线为，平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，
为的中点，且是边长为的正三角形，则，，，C选项错误；
对于B选项，取的中点，连接、，则且，，
平面，平面，平面，，
，，B选项正确；
对于D选项，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积为，D选项正确.
故选：BD.
解析：
由题意得，则
对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；
对于B：，令，解得x=1，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，故B错误；
对于C：当时，若，则，
所以，即，
令，
则，
，
当时，，函数为增函数，
又，所以在是恒成立，
所以为减函数，
又，所以在是恒成立，
所以当时，总有恒成立，故C正确；
对于D：若函数有两个极值点，
则有两个根，即在有两个根，
令，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
又当时，，当时，，，
所以，解得，故D正确.
故选ACD
填空题
150 14、7
15、 12 16、2
13.解析：
中，令得展开式的各项系数之和，
根据二项式系数和公式得二项式系数之和，
∵，∴解得，
∴的展开式的通项为，
令得，故展开式中的系数为
14.解析：
，则；，
所以：当时，取得最小值。此时
15.【解析】
【分析】首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可.
【详解】，，
当取最小值时，取最小值，
，，
，
，
，当且仅当即时取等号，
.
16.解析：
双曲线的渐近线方程为，右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，即有c=1，由题意可得，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x，
如图,过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2:x=−1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，
设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，
根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值。
∵F(1,0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离为.∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为2.
解答题
17．（本小题10分）
在中，角的对边分别是，的面积为.
若，求边；
若是锐角三角形且角，求的取值范围.
18．（本小题12分）
设等比数列的前项和为，且，（）.
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.
19．（本小题12分）
如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：连接.
因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，所以，则. （2分）
因为，所以.
因为，所以平面， （4分）
因为平面，所以平面平面. （5分）
（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.
则，，，，故，，.
设平面的法向量为，
则，令，则. （7分）
设平面的法向量为，
则，令，则. （9分）
， （11分）
记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则. （12分）
20. （本小题12分）
某种项目射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
（1）求选手甲在射击中得0分的概率；
（2）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．
20.解：（1）记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为
事件、、，三次都没有击中目标为事件，则．
设选手甲在m处击中目标的概率为，则． （2分）
由m时，得，
所以，，
所以，． （4分）
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为
． （6分）
（格式不要求一模一样，酌情给分）
（2）解：由题设知，的可能取值为0，1，2，3．
，， （8分）
，． （10分）
则的分布列为
所以数学期望为． （12分）
21．（本小题12分）
已知点、分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为，点P是以坐标原点O为圆心的单位圆上的一点，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线与的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)（方法1）设椭圆的标准方程为
由题意可得解得：
即椭圆C的标准方程：. （4分）
（方法2）根据圆的对称性和题目的条件，推出单位圆经过焦点，从而得到c=1也是可以的。
(2)设直线l：
则
有，消去 y得：，
所以 （6分）
因为x轴上任意一点到直线与的距离均相等，
所以x轴为直线与的角平分线，
所以，即 （8分）
所以
整理化简得： （10分）
即直线l：
故直线恒过定点（-2,0）. （12分）
22．（本小题12分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性;
（2）若，证明:
解：（1）的定义域为，. （2分）
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增； （3分）
当时，时，；
时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增. （5分）
（2）当时，.
令，，
则.
，
令，.
恒成立，
所以在上单调递增. （7分）
因为，，
所以存在唯一的，使得，
即.①
当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增.
所以，，② （9分）
方法一：把①代入②得
，.
设，.
则恒成立，
所以在上单调递减，所以. （11分）
因为，所以，即，所以，
所以时，. （12分）
方法二：设，.
则，所以在上单调递增， （10分）
所以，
所以.
因为，所以，
所以，
所以时，. （12分）1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
B
D
C
B
A
A
9
10
11
12
BD
ACD
BD
ACD
0
1
2
3
单项选择
8.【分析】
先由图Ⅱ求出圆的周长，利用球的面积公式可求表面积.
【详解】设边长为
如右图，在正五边形中，内角为，边长为，
因为在正六边形中，内角为，边长为，正六边形的轴长为
所以大圆的周长为：
多项选择
10.解析：
A：根据题意和平面向量数量积的坐标表示可得且与不同向共线，求得，解之即可
B：由于，而，根据共面向量定理知，，，，四点共面，故B正确;
C：同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，故错误；
D：如下图，中，显然不是钝角三角形，故错误.
11.解析：
对于A选项，连接，则点为的中点，、平面，平面，
同理可知平面，所以，与不是异面直线，A选项错误；
对于C选项，四边形是边长为的正方形，，
平面平面，交线为，平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，
为的中点，且是边长为的正三角形，则，，，C选项错误；
对于B选项，取的中点，连接、，则且，，
平面，平面，平面，，
，，B选项正确；
对于D选项，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积为，D选项正确.
故选：BD.
解析：
由题意得，则
对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；
对于B：，令，解得x=1，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，故B错误；
对于C：当时，若，则，
所以，即，
令，
则，
，
当时，，函数为增函数，
又，所以在是恒成立，
所以为减函数，
又，所以在是恒成立，
所以当时，总有恒成立，故C正确；
对于D：若函数有两个极值点，
则有两个根，即在有两个根，
令，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
又当时，，当时，，，
所以，解得，故D正确.
故选ACD
填空题
150 14、7
15、 12 16、2
13.解析：
中，令得展开式的各项系数之和，
根据二项式系数和公式得二项式系数之和，
∵，∴解得，
∴的展开式的通项为，
令得，故展开式中的系数为
14.解析：
，则；，
所以：当时，取得最小值。此时
15.【解析】
【分析】首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可.
【详解】，，
当取最小值时，取最小值，
，，
，
，
，当且仅当即时取等号，
.
16.解析：
双曲线的渐近线方程为，右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，即有c=1，由题意可得，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x，
如图,过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2:x=−1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，
设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，
根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值。
∵F(1,0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离为.∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为2.
解答题
17．（本小题10分）
在中，角的对边分别是，的面积为.
若，求边；
若是锐角三角形且角，求的取值范围.
18．（本小题12分）
设等比数列的前项和为，且，（）.
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.
19．（本小题12分）
如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：连接.
因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，所以，则. （2分）
因为，所以.
因为，所以平面， （4分）
因为平面，所以平面平面. （5分）
（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.
则，，，，故，，.
设平面的法向量为，
则，令，则. （7分）
设平面的法向量为，
则，令，则. （9分）
， （11分）
记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则. （12分）
20. （本小题12分）
某种项目射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
（1）求选手甲在射击中得0分的概率；
（2）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．
20.解：（1）记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为
事件、、，三次都没有击中目标为事件，则．
设选手甲在m处击中目标的概率为，则． （2分）
由m时，得，
所以，，
所以，． （4分）
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为
． （6分）
（格式不要求一模一样，酌情给分）
（2）解：由题设知，的可能取值为0，1，2，3．
，， （8分）
，． （10分）
则的分布列为
所以数学期望为． （12分）
21．（本小题12分）
已知点、分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为，点P是以坐标原点O为圆心的单位圆上的一点，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线与的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)（方法1）设椭圆的标准方程为
由题意可得解得：
即椭圆C的标准方程：. （4分）
（方法2）根据圆的对称性和题目的条件，推出单位圆经过焦点，从而得到c=1也是可以的。
(2)设直线l：
则
有，消去 y得：，
所以 （6分）
因为x轴上任意一点到直线与的距离均相等，
所以x轴为直线与的角平分线，
所以，即 （8分）
所以
整理化简得： （10分）
即直线l：
故直线恒过定点（-2,0）. （12分）
22．（本小题12分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性;
（2）若，证明:
解：（1）的定义域为，. （2分）
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增； （3分）
当时，时，；
时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增. （5分）
（2）当时，.
令，，
则.
，
令，.
恒成立，
所以在上单调递增. （7分）
因为，，
所以存在唯一的，使得，
即.①
当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增.
所以，，② （9分）
方法一：把①代入②得
，.
设，.
则恒成立，
所以在上单调递减，所以. （11分）
因为，所以，即，所以，
所以时，. （12分）
方法二：设，.
则，所以在上单调递增， （10分）
所以，
所以.
因为，所以，
所以，
所以时，. （12分）1
2
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C
C
B
D
C
B
A
A
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ACD
BD
ACD
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