新教材人教A版数学必修第二册 模块综合检测 试卷

这是一份新教材人教A版数学必修第二册 模块综合检测 试卷，共9页。

模块综合检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2019年河南二模)已知复数z＝2＋ai(a∈R)，若|(1－i)z|＝4，则a的值为(　　)
A．2　　　 B．±2　　　
C．0　　　 D．±1
【答案】B　【解析】∵z＝2＋ai，∴(1－i)z＝(1－i)(2＋ai)＝(2＋a)＋(a－2)i，由|(1－i)z|＝4，得＝4，解得a＝±2.故选B．
2．在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则sin B＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
【答案】A　【解析】由正弦定理得sin B＝＝＝.
3．(2019年淄博月考)样本量为100的样本数据被分为6组，如表：
组号
1
2
3
4
5
6
频数
14
17
18
20
x
15
第5组的频率是(　　)
A．0.15　 B．0.16　
C．0.18　 D．0.20
【答案】B　【解析】由图表可知，第5组的频数为100－14－17－18－20－15＝16，∴第5组的频率为＝0.16.故选B．
4．(2019年南昌期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，|a－b|＝，则|b|＝(　　)
A．1　　 B．2　
C．3　 D．4
【答案】B　【解析】∵|a|＝1，|a＋b|＝，|a－b|＝，∴(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)＝2＋2b2＝10，∴b2＝4，∴|b|＝2.故选B．
5．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是(　　)

A．25　　　 B．20　　　
C．18　　　 D．15
【答案】D　【解析】根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4.∵频数是40，∴样本容量是＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选D．
6．(2019年河南月考)市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
【答案】A　【解析】由题意，网上购买的家用小电器被投诉的概率为×＝，实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为×＝，故所求概率为p＝＝.故选A．
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为(　　)
A．15平方千米　　 B．18平方千米
C．21平方千米　　　 D．24平方千米
【答案】C　【解析】设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，∴由余弦定理得cos C＝＝，∴sin C＝.故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米)．故选C．
8．在三棱锥A-BCD中，△ABC与△BCD都是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，若该三棱锥的外接球的体积为20π，则△ABC边长为(　　)
A．3　 B．6　
C．6　 D．6
【答案】D　【解析】如图，取BC中点M，连接AM，DM.设等边三角形ABC与等边三角形BCD的外心分别为N，G，三棱锥外接球的球心为O，连接OA，OD，ON，OG.由V＝R3＝20π，得外接球半径R＝.设△ABC的边长为a，则ON＝GM＝DM＝a，AN＝AM＝a.在Rt△ANO中，由ON2＋AN2＝R2，得＋＝15，解得a＝6.故选D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列说法中错误的是(　　)
A．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)＝1
B．若事件A与事件B满足P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B为对立事件
C．“事件A与事件B互斥”是“事件A与事件B对立”的必要不充分条件
D．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件
【答案】ABD　【解析】若事件A与事件B互斥，则有可能P(A)＋P(B)<1，故A不正确；若事件A与事件B为同一事件，且P(A)＝0.5，则满足P(A)＋P(B)＝1，但事件A与事件B不是对立事件，B不正确；互斥不一定对立，对立一定互斥，故C正确；某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立，D错误．故选ABD．
10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是(　　)

A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
【答案】ABC　【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，A正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，B正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，C正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，D错误．故选ABC．
11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是(　　)
A．a为单位向量　　 B．a⊥b
C．b∥ D．(4a＋b)⊥
【答案】ACD　【解析】由＝2a，得a＝，又AB＝2，所以|a|＝1，即a是单位向量，A正确；a，b的夹角为120°，B错误；因为＝＋＝2a＋b，所以＝b，C正确；(4a＋b)·＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0，D正确．故选ACD．
12．如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则(　　)

A．三棱锥A-D1PC的体积不变
B．A1P∥平面ACD1
C．DP⊥BC1
D．平面PDB1⊥平面ACD1
【答案】ABD　【解析】连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥P-AD1C的体积不变，又因为V三棱锥P-AD1C＝V三棱锥A-D1PC，所以A正确；因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，B正确；由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1，即DP不垂直BC1，故C不正确；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C，又因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，D正确．故选ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知复数z＝，为z的共轭复数，则的虚部为________．
【答案】－2　【解析】由z＝＝＝＝－1＋2i，得＝－1－2i，∴复数的虚部为－2.
14．(2019年郑州高一期末)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，这5个班级中抽取的人数分别为5，a,7,7,10，若把每个班级抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，则样本数据中的方差是________．
【答案】2.8　【解析】由×(5＋a＋7＋7＋10)＝7，得a＝6.所以样本数据的方差s2＝×[(5－7)＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(10－7)2]＝2.8.
15．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知abcos(A－B)＝a2＋b2－c2，A＝45°，a＝2，则c＝________.
【答案】　【解析】由abcos(A－B)＝a2＋b2－c2，得cos(A－B)＝2·＝2cos C＝－2cos(A＋B)，整理，得3cos Acos B＝sin Asin B，所以tan Atan B＝3.
又A＝45°，所以tan A＝1，tan B＝3.由＝3，sin2B＋cos2B＝1，得sin B＝，cos B＝.所以sin C＝sin(A＋B)＝＝.由正弦定理，得c＝＝.
16．(2020年北京期末)在平行四边形ABCD中，已知·＝·，||＝4，||＝2，则四边形ABCD的面积是________．
【答案】4　【解析】如图，∵·＝·，∴·(＋)＝(＋)·，∴2＋·＝2＋·，∴2＝2，

∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．又||＝4，||＝2，∴四边形ABCD的面积为×4×2＝4.
四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知复数z＝m2－mi(m∈R)，若|z|＝，且z在复平面内对应的点位于第四象限．
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解：(1)∵z＝m2－mi，|z|＝，∴m4＋m2＝2，得m2＝1.又∵z在复平面内对应的点位于第四象限，∴m＝－1，即z＝1－i.
(2)由(1)得z＝1－i，
∴z2＋az＋b＝1＋i⇒(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.
∴(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，
∴
解得a＝－3，b＝4.
18．(2019年揭阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积S＝，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．
解：(1)由余弦定理得cos C＝，即＝，化简得a2＋b2－ab＝4.
又因为absin C＝，所以ab＝4.
联立解得a＝2，b＝2.
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，
即sin Acos B＋cos Asin B＋sin Bcos A－cos Bsin A＝2sin Acos A，
化简得sin Bcos A＝sin Acos A．
当cos A＝0时，A＝，△ABC为直角三角形．
当cos A≠0时，得sin B＝sin A，即b＝a，△ABC为等腰三角形．
19．(2019年重庆期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是边长为3的正方形，E，F，G分别是棱AB，PB，PC的中点，PA＝6，∠PAD＝60°.

(1)求证：平面EFG∥平面PAD；
(2)求三棱锥B-EFG的体积．
解：(1)证明：∵E，F，G分别是棱AB，PB，PC的中点，
∴EF∥PA，FG∥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴AD∥FG.
∵AD⊂平面PAD，FG⊄平面PAD，∴FG∥平面PAD．
同理可证EF∥平面PAD．
又EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面PAD．
(2)∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD．
∵PA⊥AB，且AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD．
由(1)知平面EFG∥平面PAD，∴BE⊥平面EFG.
∴VB-EFG＝S△EFG·BE.
易知∠EFG＝120°，EF＝PA＝3，FG＝BC＝，BE＝AB＝.
∴S△EFG＝·EF·FG·sin∠EFG＝.
∴VB-EFG＝××＝.
20．(2020年昆明月考)某冰糖橙为甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表：
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
售价/(元·kg－1)
36
30
24
18
(1)试计算样本中的100箱不同等级橙子的平均价格；
(2)按照分层抽样的方法，从这100箱橙子中抽取10箱，试计算各等级抽到的箱数；
(3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起，再从中抽取2箱，求抽取的2箱中两种等级均有的概率．
解：(1)依题意可知，样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×＋30×＋24×＋18×＝29.4(元/kg)．
(2)依题意，珍品抽到×40＝4(箱)，特级抽到×30＝3(箱)，优级抽到×10＝1(箱)，一级抽到×20＝2(箱)．
(3)抽到的特级有3箱，编号为A1，A2，A3，抽到的一级有2箱，编号为B1，B2.
从中抽取2箱，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种可能，两种等级均有的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)共6种可能，
∴所求概率p＝＝.
21．已知向量a＝(cos ωx，sin ωx)，b＝(cos ωx，cos ωx)，其中ω＞0，记函数f(x)＝a·b.
(1)若函数f(x)的最小正周期为π，求ω的值；
(2)在(1)的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f＝，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积．
解：(1)f(x)＝a·b＝cos2ωx＋sin ωx·cos ωx＝＋＝sin＋.
∵f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，
∴＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin＋.
∵f＝，∴sin＝.
由0＜A＜π，得 ∴A＋＝，解得A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－bc.
联立b＋c＝5，得bc＝3.
∴S△ABC＝bcsin A＝×3×＝.
22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．

(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.
(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．
解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴＝0.05，解得x＝120.
(2)设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，∴a＝≈32，则中位数为32.
(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为1＝×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s＝×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.
5个职业组成绩的平均数为2＝×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s＝×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.
(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．