人教版八年级下册16.3 二次根式的加减复习练习题

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一、知识点
1.二次根式的加减运算方法：
① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式；
② 是最简二次根式，只把二次根式系数想加减，二次根式不变照写；
2.二次根式乘除混合运算：把系数相乘除，被开方数相乘除，再把它们的结果相乘。
3.运用：① 二次根式概念运用；字母有意义的取值范围。
② 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0；
③ 分母有理化
④ 二次根式的化简求值；
二、考点点拨与训练
考点1:二次根式的加减运算
典例：（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：
方法或规律点拨
本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则．
方法或规律点拨
本题考查了二次根式的除法，可以直接被开方数相除，也可以先化简两个二次根式再相除．
巩固练习
1．（2021·江苏泰州市·八年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3B．C．5×5＝5D．＝2
3．（2020·浙江宁波市·七年级期末）计算：__________．
4．（2020·叙州区双龙镇初级中学校九年级期末）=________
5．（2021·上海九年级专题练习）计算：＝_____．
6．（2021·江苏扬州市·八年级期末）计算：
（1）
（2）
7．（2020·长汀县第四中学八年级月考）计算：．
8．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）计算：
（1）．
（2）．
9．（2020·四川省通江县民胜职业高级中学八年级月考）（1）
（2）
10．（2021·江苏泰州市·八年级期末）计算：
（1）；
（2）．
考点2：二次根式中的混合运算
典例：（2021·山东济南市·八年级期末）计算下列各题：
（1）×－；
（2） （＋3）（3－）－（－1）2.
方法或规律点拨
本题主要考查二次根式的混合运算和乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则，平方差和完全平方公式，是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·山西晋城市·九年级期末）__________．
2．（2021·北京顺义区·八年级期末）计算：．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算：________．
4．（2021·陕西榆林市·八年级期末）计算：
5．（2020·重庆沙坪坝区·八年级期末）计算：
（1）；
（2）．
6．（2021·重庆南岸区·八年级期末）计算：
（1）；
（2）
7．（2021·山东青岛市·八年级期末）计算：
（1）
（2）
8．（2020·浙江金华市·八年级期中）计算（1）．
（2）．
9．（2021·福建三明市·七年级期末）化简：（1）
（2）
11．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：
（1）
（2）
12．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）计算：（1）
（2）
考点3：与二次根式有关的化简求值
典例：（2021·福建厦门市·九年级期末）先化简，再求值：，其中．
方法或规律点拨
本题考查了分式的混合运算以及二次根式的运算，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2020·上海育才初级中学）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为__．
2．（2020·叙州区双龙镇初级中学校九年级期末）如果的整数部分为a，小数部分为b
（1）直接写出a= ，b=
（2）计算：的值
3．（2021·湖南娄底市·八年级期末）已知，，求
（1）求的值；
（2）求的值．
4．（2021·湖南长沙市·八年级期末）先化简，再求代数式的值，其中
5．（2021·贵州铜仁市·八年级期末）先化简，再求值：
（1），其中
（2），从不等式组的解集中选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
6．（2019·浙江杭州市·九年级期中）先化简，再求值：，其中．
7．（2020·四川成都市·武外八年级月考）已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
8．（2021·上海九年级专题练习）先化简，再求值：，其中x＝+1．
9．（2020·南通市八一中学八年级月考）先化简，再求值：，其中．
10．（2020·东莞市东莞中学初中部九年级期中）先化简，再求值：，其中．
11．（2020·江苏省南通市北城中学八年级月考）先化简再求值：，其中．
12．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）若成立，试化简：．
13．（2020·四川电子科大实验中学八年级期中）解答下列问题．
（1）已知，，求．
（2）已知实数，满足，求的平方根．
14．（2020·南县官成镇第三初级中学八年级月考）已知m，n满足，求的值．
考点4：二次根式的应用
典例：（2021·全国九年级）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
方法或规律点拨
本题主要考查二次根式的运算，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2020·浙江宁波市·七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
2．（2021·重庆七年级期末），，，，，其中n为正整数，则的值是__________．
3．（2020·湖南省新田第一中学九年级月考）函数可表示为，则有，已知函数，那么__________．
4．（2021·全国八年级）若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积为________．
5．（2021·全国八年级）已知，则________．
6．（2020·遵化市第三中学八年级月考）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
6．（2021·全国九年级）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S＝（其中a，b，c为三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a＝，b＝3，c＝2时．
（1）直接写出p的化简结果为 ．
（2）写出计算S值的过程．
7．（2020·山西九年级期中）请阅读下列材料，并解决问题：
海伦—秦九韶公式
海伦（约公元年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式称海伦公式．
秦九韶（约—），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．
通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．
问题：
在中，，，，请用海伦—秦九韶公式求的面积．
8．（2019·甘肃庆阳市·七年级期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：，； ， ，通过以上计算：猜想得出
（2）运用（1）中的结论进行化简：例如：，，请化简①；②
（3）已知，，，求的值
9．（2020·广东佛山市·八年级月考）先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
10．（2019·山西阳泉市·九年级一模）观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．
11．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）一个三角形的三边长、、
（1）求它的周长（要求结果化简）
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．