人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理达标测试

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1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．7，8，9C．6，8，10D．，，
【答案】C
【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；
B、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；
C、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；
D、不是勾股数，因为，，不是正整数，此选项不符合题意；
故选：C．
2．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在中，，，，
以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，
故选：D．
3．（2021·湖南衡阳市·八年级期末）在中，，且，若，那么的值是（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】C
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，b＝
故选：C．
4．（2021·山东东营市·七年级期末）如图，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．设AB长是m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可以用数轴上的一个点来表示；③m是13的算术平方根；④2＜m＜3．其中所有正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④
【答案】C
【详解】由勾股定理可知：，
∴是无理数；m可以用数轴上的一个点来表示；m是13的算术平方根；
故①②④正确，
∵，
∴，
故③错误，
故选：C．
5．（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AB=5，∠EDB=90°，AE=BE
连接AE，设AE=BE=x，则CE=x-6
在Rt△ACE中，，解得：
∴BE=AE=
在Rt△BDE中，ED=．
故选：C．
6．（2021·湖北咸宁市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为（ ）
A．20B．24C．30D．40
【答案】C
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，
∴在Rt△ABC中，∠A＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
∴ 设BD＝x，则BC＝2BD＝2x，
CD＝，
∴ 在Rt△ACD中，∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝，
∵△ABC的面积为120，
∴，
解得：，
∵，
故选：C．
7．（2021·四川成都市·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（ ）
A．B．C．﹣1D．
【答案】B
【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=，
∵BD=BC=1，
∴AE=AD=AB-BD=，
∴，
故选B．
8．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC沿直线BC向右平移，得到△EDF，连接AD，若四边形ACFD为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【详解】
解：由平移的性质可得：
又∵四边形是菱形
∴设
又∵
∴
又∵∠
∴
∴
解得，
即
故平移的距离为：
故选：C．
9．（2021·福建三明市·九年级期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设门的宽为尺，则高为（x+6）尺，
根据题意可列方程，
故选：A．
10．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点、的坐标分别为、．若是等边三角形，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】过点A作AD⊥OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，
∵点B的坐标为，点C的坐标为
∴BC=2，OC=
∴CA=2，
∴CD=1，
∴AD=，
∵OD=CD-CO
∴OD=1-=
∴点A的坐标是．
故选A．
11．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）．
A．12B．10C．6D．15
【答案】C
【详解】解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：
3²+x²=(9-x)²，解得x=4，
故AE=4，此时，
故选：C．
12．（2021·河南漯河市·八年级期末）如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴．
∵AB=AC，，
∴，
∴，
∴AD=BD=1，
在中，，，BD=1．
∴．
故选：B．
13．（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
【答案】C
【详解】解：如图，取AB的中点D，连接CD，
∵AC=BC=10，AB=12，
∵点D是AB边中点，
∴BD=AB=6，CD⊥AB，
∴CD=，
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=6
∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，
故选：C．
14．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则（ ）
A．86B．64C．54D．48
【答案】C
【详解】解：如图1，过点E作AB的垂线，垂足为D，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x，
∴AD=BD=AB=x，
∴DE==x，
∴S2==，
同理：S1=，S3=，
∵BC2=AB2-AC2，
∴S3=S2-S1，
如图2，S4==，
同理S5=，S6=，
则S4=S5+S6，
∴S3+S4=45-16+11+14=54．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·江苏南京市·八年级期末）在中，，则△ABC的面积为_______．
【答案】84
【详解】解：如图，
在中， ，
由勾股定理得，
故答案为：．
16．（2021·江苏泰州市·八年级期末）若点A（x，5）与B（2，5）的距离为3，则x＝__________．
【答案】5或-1
【详解】
根据题意得（x-2）2+（5-5）2=32，
解得x=5或x=-1．
故答案为5或-1．
17．（2021·山西晋城市·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______．
【答案】19
【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为，
正方形A，B，C，D的面积分别为，
根据正方形的面积公式得：，
正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边，
由勾股定理可得：，
正方形E的面积为：，
同理可得正方形F的面积为：，
同理可得正方形G的面积为：，
故答案为：19．
18．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
【答案】5
【详解】解：分三种情况：如图1，,
如图2，，
如图3，，
，
它爬行的最短路程为5，
故答案为：5．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·山东烟台市·七年级期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
【答案】千米
【详解】解：由题意可得：AB=3，AD=5
∴在Rt△ABD中，
设AC=CD=x，则BC=4-x
在Rt△ABC中，，解得：x=
∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米
20．（2021·河南南阳市·八年级期末）正方形网格的每个小正方形的边长为1，格点中，、、三边的长分别为、、．
（1）在数轴上画出，这两个点；
（2）请在正方形网格中画出格点；
（3）这个三角形的面积为_________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】
解：（1）在数轴上1的位置向上垂直画一条长度为1的线段，接原点和另一端点，边长就是，然后用圆规，以原点为圆心，斜边为半径做圆，交数轴于一点，该点表示的数即为；
-1，两个点的位置见数轴：
（2）如图，△ABC为所作，
（3）△ABC的面积，
故答案为：．
21．（2021·江苏镇江市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．
（1）作AC的垂直平分线，交BC于点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求BP的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）画图所示：
（2）∵点在的垂直平分线上，
∴，
设，则，
在中，
解得：
∴．
22．（2021·重庆七年级期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
【答案】（1）学校受到噪音影响，理由见解析；（2）32秒
【详解】
解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作于B，如图，
，，
，
而，
消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作交MN于C、D，如图，
，
在中，，，
，
同理，
，
拖拉机的速度，
拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为：（秒），
学校受影响的时间为32秒．
23．（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为 ；
（3）△ABC的面积为 ；
（4）若Q为x轴上一点，连接AQ、BQ，则△ABQ周长的最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）（3，2）；（3）；（4）
【详解】
（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为（3，2）；
故答案为：（3，2）；
（3）△ABC的面积为：4×7-×2×3-×1×7-×4×5=；
故答案为：；
（4）由图可得，AB=，
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于Q，则AQ+BQ的最小值为A'B的长，
又∵A'B=，
∴△ABQ周长的最小值为，
故答案为：；
24．（2021·福建三明市·八年级期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，CD＝6，E为AB边上的点．
（1）连接CE，DE，CE⊥DE．
①如图1，若AE＝BC，求证：AD＝BE；
②如图2，若AE＝BE，求证：CE平分∠BCD；
（2）如图3，F是∠BCD的平分线CE上的点，连结BF，DF，BF＝DF＝，求CF的长．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）
【详解】
解：（1）①


在与中，



②如图，延长交的延长线于


在与中，





平分
（2）如图，过作于 作于

平分













25．（2020·山西晋中市·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
【答案】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；②证明见解析；（2）；（3）．
【详解】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；
②图1：大正方形的面积为，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
则；
图2：大正方形的面积为，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
则，
即；
图3：直角梯形的面积为，
三个直角三角形的面积之和为，
则，
即；
（2）设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为，
由圆的面积公式得：，
，
，
由勾股定理得：，
则，
即，
故答案为：；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，
由（2）可知，，
则阴影部分的面积为，
，
，
故答案为：．
26．（2021·山西长治市·八年级期末）综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处
①若，，则的度数为 ．
②，，之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．
【答案】（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）；（3）3或6
【详解】解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
（2）∵，，
设BD=x，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中，，解得：
∴BD的长为
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，

∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．