人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课后作业题

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课后作业题，文件包含专题172勾股定理逆定理讲练-解析版docx、专题172勾股定理逆定理测试-解析版docx、专题172勾股定理逆定理讲练-原卷版docx、专题172勾股定理逆定理测试-原卷版docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

一、知识点
勾股定理的逆定理：两个边平方之和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
第三边即为直角三角形的斜边。
勾股定理逆定理的应用：证明直角三角形
二、考点点拨与训练
考点1:判断三边能否构成直角三角形
典例：（2021·江苏连云港市·八年级期末）如图，点是等边内的一点，，，.若点是外的一点，且，则的度数为_____．
【答案】150°
【详解】连接PP′，
∵，
∴PA＝P′A=6，∠P′AB＝∠PAC，BP′=CP=10，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6，
又∵，
∴PP′2＋BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
方法或规律点拨
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·江苏淮安市·八年级期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2， 3， 4B．4，6，7C．3，4， 5D．6，8，11
【答案】C
【详解】
A、因为，故不符合题意；
B、因为，故不符合题意；
C、因为，故符合题意；
D、因为，故不符合题意；
故选：C．
2．（2021·云南文山壮族苗族自治州·八年级期末）下列条件中，使不是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．
【答案】C
【详解】
A、∵，∴是直角三角形；
B、∵，∴是直角三角形；
C、设a=b=2x，c=3x，
∵，，
∴，
∴不是直角三角形；
D、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵，
∴，
解得x=，
∴∠C=3x=，
∴是直角三角形；
故选：C．
3．（2021·陕西咸阳市·八年级期末）下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【详解】解：A.
能构成直角三角形，故A不符合题意；
B.
不能构成直角三角形，故B符合题意；
C.
能构成直角三角形，故C不符合题意；
D.
能构成直角三角形，故D不符合题意，
故选：B．
4．（2021·福建泉州市·八年级期末）以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，4，6B．4，6，8C．5，12，13D．8，10，12
【答案】C
【详解】解：A、22+42≠62，故不是直角三角形，故不正确；
B、62+42≠82，故不是直角三角形，故不正确；
C、52+122=132，故是直角三角形，故正确；
D、82+102≠122，故不是直角三角形，故不正确．
故选：C．
5．（2021·江苏苏州市·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠C+∠AB．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：5
【答案】C
【详解】解：

故不符合题意；


故不符合题意；


不是直角三角形，故符合题意，

设 则

故不符合题意，
故选：
6．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．4、5、6B．5、12、13C．3、4、5D．1、、
【答案】A
【详解】解：A、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；
B、因为122+52＝132，所以能组成直角三角形；
C、因为32+42＝52，所以能组成直角三角形；
D、因为12+（）2＝（）2，所以能组成直角三角形．
故选：A．
7．（2021·江苏连云港市·八年级期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
【答案】B
【详解】
解：选项A：由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，结合已知，得到2∠C=180°，∴∠C=90°，故△ABC为直角三角形，选项A不符合题意；
选项B：∵a²+b²≠c²，由勾股定理逆定理可知，△ABC不是直角三角形，选项B符合题意；
选项C：对等式左边使用平方差公式得到：b²-c²=a²，再由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，不符合题意；
选型D：由勾股定理逆定理可知：a²+b²=1+2=3=c²，∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
故选：B．
8．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【答案】D
【详解】解：∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，
∴2∠C=180°，即∠C=90°
∴ΔABC是直角三角形，故A正确，不符合题意；
∵c2=b2-a2，
∴ΔABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；
∵∠A:∠B : ∠C=1 : 2 : 3，
∴∠C=180°×=90°，故C正确，不符合题意；
∵a2+b2c2，
∴ΔABC不是直角三角形，故D错误，符合题意．
故选D．
考点2：利用勾股定理逆定理求解
典例：（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）∠ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为
【详解】解：（1）连接AC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=20，BC=15，
∴由勾股定理可得：AC=；
∵在△ADC中，CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°；
（2）由（2）知，∠ADC=90°，
∴四边形ABCD的面积=
．
答：四边形ABCD的面积为．
方法或规律点拨
本题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，，，，，．求该图形的面积．
【答案】．
【详解】解：连接．
∵在中，，，
∴．
在中，
∵，
∴为直角三角形．
∴该图形的面积为．
2．（2021·江西吉安市·八年级期末）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
（1）求CD的长；
（2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
【答案】（1）DC=13；（2）△BCD是直角三角形；理由见解析．
【详解】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
3．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】证明：（1）



（2）
设 则






4．（2021·重庆北碚区·八年级期末）如图，在中，，点D是BC的中点，连接AD，，BE分别交AC，AD于点E、，若，求AF的长度．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
．
5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）12；（2）84．
【详解】（1），
是直角三角形，
，
；
（2），
，
是直角三角形，
则四边形ABCD的面积为，
，
，
即四边形ABCD的面积为84．
6．（2020·唐河县桐寨铺镇第一初级中学八年级月考）如图，在四边形ABDC中，，，，，．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）10；（2）25．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴；
（2）∵，，，
∴，
即，
∴是直角三角形，且，
∴的面积为．
7．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见详解；（2）234
【详解】
解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．
8．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【详解】
（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴CD＝BD＝5，
∴在中，．
9．（2021·全国八年级）在图中，A（1，3），B（﹣2，0）和C（2，﹣4）是一个直角三角形的顶点．
（1）求AB和BC的长度，答案以根式表示；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）；；（2）12
【详解】（1）AB=，
BC=；
（2）∵ AC=，
且AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
则△ABC的面积为．
11．（2019·镇江实验学校八年级期中）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
【答案】阅读：AD；理解：150°；应用：44
【详解】
解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
考点3：勾股定理逆定理的实际应用
典例：（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，某公园有两个小喷泉A、B，两个小喷泉之间的距离为25m．现要为喷泉铺设供水管道AM、BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12m，BM的长为15m．
（1）求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长；
（2）试判断BM是否是喷泉B到小路AC的最短距离，若是，请说明理由；若不是，请求出最短距离．
【答案】（1）供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m；（2）是到小路的最短距离，见解析．
【详解】解：（1）∵
∴
在中，
∴
∴
在中
∴
答：供水点M到喷泉A、B铺设的管道总长为35m．
（2）是到小路的最短距离，
∵，
∴是直角三角形
根据垂线段最短性质，得
是到小路的最短距离．
方法或规律点拨
本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
巩固练习
1．（2020·重庆沙坪坝区·八年级期末）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
【答案】（1）米；（2）米．
【详解】解：（1）





为米．
（2）




为米．
2．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10 m，BD＝14 m，AB＝16m，AE＝2m．
（1）求DE的长；
（2）求四边形ABDE的面积．
【答案】（1）8米；（2）72m2
【详解】（1），
∴在Rt中，DC＝6m，CE＝10 m，
∴ m；
（2）如图，连接BE，
在Rt△EBD中，BD＝14 m，ED＝8 m，
，
∵AB＝16m，AE＝2m，
，
，
∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，
∴S△ABE＝×16×2＝16，
又∵S△BDE＝×14×8＝56，
∴四边形ABDE的面积(m2)．
3．（2021·陕西西安市·八年级期末）为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）求线段的长．
【答案】（1）是直角三角形；理由见解析；（2）线段的长为16.9．
【详解】解：（1）是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）设，则，
由（1）可知是直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴线段的长为16.9．
4．（2021·河南周口市·八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．
（1）求出四边形空地的面积；
（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．
【答案】（1）四边形空地的面积为234平方米；（2）学校共需投入28080元．
【详解】解：（1）连接．

在中，∵，，，
∴（米）．
在中，∵，，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴平方米．
∴四边形空地的面积为234平方米．
（2）（元）．
答：学校共需投入28080元．
5．（2021·福建泉州市·八年级期末）有一块四边形草地（如图），测得m，m，m，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
【答案】（1）150°；（2）+120（m2）
【详解】（1）连接BD，
∵m，∠A=60°
∴∆ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠A=60°，BD=m，
∵m，m，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°+60°=150°；
（2）过点A作AP⊥BD于点P，则BP=DP=BD=5m，AP=，
∴四边形草地的面积=S∆ABD+S∆CBD=BD∙AP+BC∙BD=×10×+×10×24=+120（m2）．
6．（2020·长汀县第四中学八年级月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？
【答案】“海天”号沿北偏西40°方向航行．
【详解】解：根据题意可知，
PQ=16×1.5=24（海里），
PR=12×1.5=18（海里），
因为QR=30，242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR=90°．
由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS=50°．
因此∠RPS=∠QPR－∠QPS=90°－50°=40°，
即“海天”号沿北偏西40°方向航行．
7．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学八年级月考）学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，，，，．
（1）求证：．
（2）求需要绿化部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：∵，
∴为直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
在中，，
，
，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
（2）
答：需要绿化的面积为．
8．（2021·河南新乡市·八年级期末）如图，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，如果，同时出发，问过时，的面积为多少?
【答案】18cm2
【详解】设AB为3x（cm），BC为4x（cm），AC为5x（cm），
∵周长为36cm，
∴AB＋BC＋AC＝36cm，
∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9−3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×6×6＝18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
9．（2021·全国八年级）如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．
【答案】南偏东30°，理由见解析．
【详解】解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°．理由是：
由题意得：OA=12，OB=16，AB=20，
∵122+162=202，
∴OA2+OB2=AB2．
∴△OAB是直角三角形，
∴∠AOB=90°．
∵∠COA=60°，
∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．
10．（2021·全国八年级）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
（2）若BE⊥DC，垂足为E，求BE的长．
【答案】（1）需费用7200元；（2）BE．
【详解】（1）解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
∴BD=5
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
即∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC•AD•ABDB•BC，
4×312×5＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）
答：要7200元投入．
（2）作BE⊥CD，垂足为E，
在Rt△DBC中，
由于BD•BCCD•BE，
即BE．
11．（2020·江苏淮安市·八年级期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB＝4米，BC＝3米，CD＝13米，DA＝12米，又已知∠B＝90°．你能够计算这块地的面积吗？
【答案】这块地的面积是36平方米
【详解】连结AC．
在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2+BC2，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝=5，
∵AC2＝25，AD2＝144，DC2＝169，
∴25+144＝169，
∴AC2+AD2＝DC2
∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×4×3+×5×12＝36（米2）．
答：这块地的面积是36平方米．
12．（2020·郓城县教学研究室八年级期中）如图，一根的电线杆用铁丝，固定，现已知用去的铁丝，，又测得地面上，两点之间的距离是，，两点之间的距离是，则电线杆和地面是否垂直，为什么？（提示：要判定电线杆和地面垂直，只需说明且即可）
【答案】垂直，理由见解析
【详解】电线杆和地面垂直，理由如下：
在△ABD中，∵BD2+AB2=52+122=169=132=AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，
在△ABC中，∵BC2+AB2=92+122=225=152=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴电线杆和地面垂直．
13．（2021·山东东营市·七年级期末）年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．

（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）测量的是点，之间的距离，依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理），见解析；（2）绿化这片空地共需要元
【详解】（1）测量的是点，之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．
（2）如图，连接，
，，，
，
由勾股定理，得，
又，，
，
是直角三角形，
．
．
绿化费用为：（元）．
答：绿化这片空地共需要元．