甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

这是一份甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案），共9页。试卷主要包含了设为虚数单位，复数满足，则，有一段演绎推理是这样的，已知函数的导函数,且满足，则，设函数在内的导函数为，若，则等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审题人：
说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上。交卷时只交答题卡。
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设为虚数单位，复数满足，则( )
A．1B．C．2D．
2．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线在平面外，直线在平面内，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
3．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是( )
A．丙、丁B．乙、丙C．甲、乙D．甲、丁
4．已知函数的导函数,且满足，则( )
A．B．C．1D．
5．设函数在内的导函数为，若，则( )
A．2B．C．1D．
6．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是( )
A．12B．24C．36D．48
7．函数在区间上的最大值、最小值分别为，则( )
A．2B．4C．20D．18
8．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
9．( )
A．4 B． C． D．8
10．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A．B．C． D．
11．函数的图象大致是( )
A． B．
C． D．
12．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知数列为等差数列，且，则_____.
14．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的方程为类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点为球心，半径为的球的方程为_____________________．
15．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为______.
16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
三．解答题（共6小题，满分70分，17小题10分，其他各12分）
17．已知
（1）求的取值范围；
（2）用反证法证明：中至少有一个大于等于0．
18．已知数列
（1）求的值，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
19．设函数在点处有极值
（1）求常数的值;
（2）求曲线与轴所围封闭图形的面积.
20．某厂生产产品件的总成本（万元），已知产品单价（万元）与产品件数满足：生产件这样的产品单价为万元.
（1）设产量为件时，总利润为（万元），求的解析式；
（2）产量定为多少时总利润（万元）最大？并求最大值.
21．已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.
22．已知函数
（1）当时，求函数的极值点；
（2）记若对任意都有成立，求实数的取值范围.
兰州一中2020-2021-2学期高二年级期中考试试卷
数学（理科）参考答案
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．2 14．
15．96 16．.
三．解答题（共6小题，满分70分，17小题10分，其他各12分）
17．解： （1）；
（2）证明：假设中没有一个不小于0，即，所以．
又，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个大于等于0．
18． 解：（1），且
， ， ；由此猜想
（2）用数学归纳法进行证明如下：
①当时，，满足要求，猜想成立；
②假设时，猜想成立，即,
那么当时，，
这就表明当时，猜想成立，
根据①②可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即.
19．解：(1)由题意知,
且,
即,解得.
(2)如图,由1问知.作出曲线的草图,所求面积为阴影部分的面积.
由得曲线与轴的交点坐标是,和,而是上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.
所以轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等.
所以所求图形的面积为 .
20．解：（1）由产品单价（万元）与产品件数满足：，生产件这样的产品单价为万元，得 即 .
.
（2）由得.
令即
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此当时，取得最大值，且最大值为（万元）故产量定为件时，总利润（万元）最大，最大值为万元.
21．解：（1）因为，所以.
所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）
（2）由题意得，，所以.
由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
又，，
若函数恰有两个零点，
则解得.
所以实数的取值范围为.
22．解：（1），定义域为
∴，
令，得，列表讨论如下：
∴的极小值点为；无极大值点.
（2）由题得，对任意，恒有，
令，
则，其中，
∵
，
∵，∴.
当时，恒有，
所以（不恒为零），函数单调递增，，成立；
当时，令，则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为函数的最小值，
又，所以不成立.
综上所述，.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
A
B
B
B
C
D
B
D
B
A
0
递减
极小值
递增