人教版九年级数学下册微卷专训专训4　用三角函数解与圆有关问题教案

专训4　用三角函数解与圆有关问题

名师点金：

用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．

一、选择题

1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sin B＝(　　)

A..  B..  C..  D..

(第1题)

　　　(第2题)

2．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么cos ∠AEB的值为(　　)

A..  B..  C..  D..

3．【中考·乐山】在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝..⊙O过B，C两点，且⊙O的半径r＝，则OA的长为(　　)

A．3或5  B．5  C．4或5  D．4

4．【中考·孝感】如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°..下列四个结论：

(第4题)

①OA⊥BC；

②BC＝6 cm；

③sin∠AOB＝；

④四边形ABOC是菱形．

其中正确结论的序号是(　　)

A．①③　B．①②③④　C．②③④　D．①③④

二、填空题

5．【中考·黔东南州】如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________..

(第5题)

　　　(第6题)

6．【中考·玉林】如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________..

7．【中考·泰安】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．

(第7题)

　　　(第8题)

8．【中考·荆州】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________..

三、解答题

9．【中考·福州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tan B＝，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到..

(1)求证：AB为⊙C的切线；

(2)求图中阴影部分的面积．

(第9题)

[来源:学*科*网]

10．【中考·武汉】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB..

(1)求证：AT是⊙O的切线；

(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．

(第10题)

11..【中考·乌鲁木齐】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E..

(1)求证：DC＝DE；

(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．

(第11题)[来源:Zxxk..Com]

[来源:学科网]

12．【中考·烟台】如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝..

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．

(第12题)

13．【中考·莆田】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝..

求证：CB是⊙O的切线．

(第13题)

答案

一、1..D　2..C　3..A　4..B

二、5..　6..　7..　8..[来源:学§科§网Z§X§X§K]

三、

(第9题)

9．(1)证明：如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tan B＝＝，∴BC＝2AC＝2..∴AB＝＝＝5，∴CF＝＝＝2..∴AB为⊙C的切线．

(2)解：S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π..

10．(1)证明：∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线．

(2)解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan ∠TOA＝＝＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝x＝OA..∵AD＝AO－OD＝(－1)x，∴tan ∠TAC＝tan ∠ACD＝＝＝..

(第10题)

　　　(第11题)

11．(1)证明：连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°..[来源:Zxxk..Com]

又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°..∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE..

(2)解：设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1..5＋x..在Rt△EAD中，∵tan ∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)．由(1)知，DC＝DE＝(3＋x)．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1..52＋＝(1..5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1..

12．解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：连接AE，如图，

∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即∠CAE＝∠BAE..

∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°..

又∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC..∴AB＝AC..

∴△ABC为等腰三角形．

(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE＝CE＝BC＝×12＝6..

在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8..

∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，

∴S△ABC＝AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝..

在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，

∴AD＝＝，∴sin ∠ABD＝＝＝..

(第12题)

　　　(第13题)

13．证明：如图，连接OD，可得OB＝OD..

又∵AB＝AD，∴AE垂直平分BD..

在Rt△BOE中，OB＝3，cos ∠BOE＝，∴OE＝..

∴CE＝OC－OE＝..

根据勾股定理得BE＝＝..

在Rt△CEB中，BC＝＝4..

∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，∴OB2＋BC2＝OC2，

∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴CB是⊙O的切线．