2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业64《离散型随机变量的均值与方差》（教师版）

课时作业64　离散型随机变量的均值与方差

第一次作业　基础巩固练

一、选择题

1．若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　B　)

A.0.2  B．－0.2

C．0.8  D．－0.8

解析：易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

2．已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　B　)

A.   B.

C．4   D.

解析：由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

3.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：由题意X可取0,1,2,3，

且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.

故E(X)＝＋2×＋3×＝.

4．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　C　)

A.2  B．3

C．4  D．5

解析：p＝1－－＝，E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，得a＝3，

∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，∴D(2X－3)＝4.

5．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，每次抽取一个球，记下颜色后放回袋中，连续抽三次，X表示三次中红球被抽中的次数，每个小球被抽中的概率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝(　C　)

A．2  B．1

C.   D.

解析：每次取球时，取到红球的概率为，取到黑球的概率为，所以取出红球的次数X服从二项分布，即X～B，所以D(X)＝3××＝，故选C.

6．已知0<a<，随机变量ξ的分布列如下：

当a增大时，(　B　)

A．E(ξ)增大，D(ξ)增大  B．E(ξ)减小，D(ξ)增大

C．E(ξ)增大，D(ξ)减小  D．E(ξ)减小，D(ξ)减小

解析：由题意得，E(ξ)＝－a＋，D(ξ)＝2×a＋2×－a＋2×＝－a2＋2a＋，∵0<a<，∴当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大，故选B.

二、填空题

7．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝1.96.

解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

8．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为1.

解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.

9．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A＝10101，则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得－1分，则100次重复试验的总得分X的方差为.

解析：启动一次出现数字为A＝10101的概率P＝2×2＝，由题意知变量服从二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有η～B，∴η的数学方差为D(η)＝100××＝.设得分为X＝2η－1×(100－η)＝3η－100，所以D(X)＝D(3η－100)＝9D(η)＝.

10．某种游戏每局的规则是：参与者现在从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其本金(单位：元)，随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局游戏中的本金与奖金，则E(ξ)－E(η)＝3.

解析：本金的分布列为

E(ξ)＝×(5＋6＋7＋8＋9)＝7.

奖金的情况是：两小球上数字之差的绝对值为1，共有4种，奖金为2元；两小球上数字之差的绝对值为2，共有3种，奖金为4元；两小球上数字之差的绝对值为3，共有2种，奖金为6元；两小球上数字之差的绝对值为4，共有1种，奖金为8元．则P(η＝2)＝＝，P(η＝4)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝8)＝＝.

奖金的分布列为

∴E(η)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4，

∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3.

三、解答题

11．某市为了了解人们对这一复兴中国梦的伟大战略举措的认识程度，对不同年龄的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分，现将所有参赛者按分数分成5组(第一组：[75,80)，第二组[80,85)，第三组：[85,90)，第四组：[90,95)，第五组[95,100])，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求实数m的值，并求所有参赛者分数的中位数；

(2)若从分数在[90,95)，[95,100]的参赛者中按分层抽样选取6人．

①求选取的6人中，分数分别在[90,95)，[95,100]上的人数；

②再从选取的6人中随机挑选2人到省里培训，记选中的2人中得分在[95,100]的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

解：(1)由直方图知m＝0.05，设中位数为x，则(0.02＋0.07)×5＋(x－85)×0.05＝0.5，故x＝86.

(2)①根据频率分布直方图和统计数据可知道按分层抽样选取6人，

[90,95)的人数为4，[95,100]的人数为2，

②X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝.

∴X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

12．为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行分析，得到如下列联表(单位：人).

(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车的情况与年龄有关？

(2)①现从所选取的30岁以上的网友中，采用分层抽样的方法选取10人，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，将频率视为概率，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率；

②将频率视为概率，从A市所有参与调查的网友中随机选取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为X，求X的数学期望和方差．

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

解：(1)由列联表可知，

K2＝≈2.198.

∵2.198>2.072，

∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车的情况与年龄有关．

(2)①依题意，可知所选取的10名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有10×＝6人，偶尔使用或不使用共享单车的有10×＝4人．

则选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率P＝＋＝.

②由列联表可知选到经常使用共享单车的网友的频率为＝，

将频率视为概率，即从A市所有参与调查的网友中任意选取1人，恰好选到经常使用共享单车的网友的概率为.由题意得X～B(10，)，

∴E(X)＝10×＝，D(X)＝10××＝.

第二次作业　高考·模拟解答题体验

1．某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2,3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．

(1)求甲获得奖品的概率；

(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．

解：(1)设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(A)＝×××＝.

(2)随机变量X的取值可以为1,2,3,4.

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝××＝.

X的分布列为

所以数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

2．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

解：(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ＝1,2,3，η＝0,1,2,3.

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

∴考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为

∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.

∵η～B，∴P(η＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，

∴考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为

∴E(η)＝3×＝2.

(2)∵P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋＝，

∴P(ξ≥2)>P(η≥2)．

从做对题的数学期望上看，甲、乙两考生水平相当；从至少正确完成两题的概率上看，甲通过的可能性比较大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．

3.为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：

(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；

(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和期望．

解：(1)由题意知

＋＝122，解得x＝8.

(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.

因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，

所以p(η＝0)＝＝；p(η＝1)＝＝；

p(η＝2)＝＝；p(η＝3)＝＝；

p(η＝4)＝＝.

所以η的分布列为

E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.