2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业66《参数方程》（教师版）

这是一份2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业66《参数方程》（教师版），共4页。试卷主要包含了已知P为半圆C等内容，欢迎下载使用。
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，点M的极角为eq \f(π,3)，且点M的极径等于eq \f(π,3)，
故点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,3))).
(2)由(1)知点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数)．
2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋3cst，,y＝5＋3sint))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋3cst，,y＝5＋3sint))(t为参数)得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，
由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入上式，
得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1，C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，则kC1C2＝eq \f(5－1,4－0)＝1，
∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，
∴点O到直线C1C2的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
又|AB|＝|C1C2|－1－3＝eq \r(4－02＋5－12)－4＝4eq \r(2)－4，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)d|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×(4eq \r(2)－4)＝2－eq \r(2).
3．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
当csα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当csα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2csα＋sinα)t－8＝0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，
设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－eq \f(42csα＋sinα,1＋3cs2α)，故2csα＋sinα＝0，
于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
4．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
解：(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsα，,y＝1＋tsinα))(t为参数)．
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4csα)t＋3＝0，
由Δ＝(4csα)2－4×3>0，得cs2α>eq \f(3,4)，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4csα，t1·t2＝3，
由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，
由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4csα)2＝5×3，
解得cs2α＝eq \f(15,16)，满足cs2α>eq \f(3,4)，所以sin2α＝eq \f(1,16)，tan2α＝eq \f(1,15)，
所以直线l的斜率k＝tanα＝±eq \f(\r(15),15).
5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\r(2)t，,y＝\r(2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋sin2θ)，且直线l经过曲线C的左焦点F.
(1)求直线l的普通方程；
(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．
解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋sin2θ)，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，
于是c2＝a2－b2＝2，F(－eq \r(2)，0)．
直线l的普通方程为x－y＝m，将F(－eq \r(2)，0)代入直线方程得m＝－eq \r(2)，所以直线l的普通方程为x－y＋eq \r(2)＝0.
(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2csθ，eq \r(2)sinθ)(0