第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性-2022届（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第三节 函数的奇偶性及周期性
知识回顾
1．函数的奇偶性

奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．
(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．

4.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5.关于周期的结论
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a.
课前检测
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B　A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.
2．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝|x| D．y＝ex－e－x
解析：选D　A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.

3.【2020年浙江杭州杭州市西湖高级中学高一上学期期末考试数学试卷】若函数 f(x)=(2x+1)(x-a)x(x≠0) 为奇函数，则实数 a=(　　)
A．12
B．0
C．-1
D．1
【答案】A
【解析】∵ 函数 f(x)=(2x+1)(x-a)x(x≠0) 为奇函数，
∴f(-x)=(-2x+1)(-x-a)-x=-(2x-1)(x+a)x=-f(x)=-(2x+1)(x-a)x，
∴f(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)，即 2x2-a+(1-2a)x，化简得 (2a-1)x=0，则 a=12．
故选 A
4.【2019年浙江杭州单元测试】已知y=f(x)在R上为奇函数，当x0时， f(x)的解析式为 ________
【答案】f(x)=1x+1
【解析】x>0,-xf(a-2)，则 a 的取值范围为______________________．
【答案】f(x)={xx+1,x>0xx-1,x⩽0；(-∞,-2)∪(23,+∞)
【解析】【分析】：首先设 x>0，-xf(|a-2|)，利用函数在 (0,+∞) 的单调性解不等式．
设 x>0，-x0xx-1,x⩽0
当 x>0 时，f(x)=xx+1=1-1x+1，
当 x>0 时，函数单调递增，
∴f(2a)>f(a-2)⇔f(|2a|)>f(|a-2|)，
∴|2a|>|a-2|，即 4a2>(a-2)2，
3a2+4a-4>0⇒(a+2)(3a-2)>0，
∴a>23 或 a0xx-1,x⩽0；(-∞,-2)∪(23,+∞)．
【备注】【点睛】：本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式和解不等式，意在考查转化与化归，属于基础题型，如果函数在定义域内是连续的，奇函数，并且单调递增，那么解 f(x1)