还剩21页未读，
继续阅读
浙教版第二章 直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆当堂检测题
展开
这是一份浙教版第二章 直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆当堂检测题，共24页。试卷主要包含了3 三角形的内切圆同步练习，5°等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习
一、单选题
1．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A．c+2rπr B．c+rπr C．2c+rπr D．c2+r2πr
2．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
3．如图，在 △ABC 中， AG 平分 ∠CAB ，使用尺规作射线 CD ，与 AG 交于点 E ，下列判断正确的是（ ）
A．AG 平分 CD
B．∠AED=∠ADE
C．点 E 是 △ABC 的内心
D．点 E 到点 A ， B ， C 的距离相等
4．利用尺规作一个任意三角形的内心 P ，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点 O 为 △ABC 的内心， ∠A=60° ， OB=2 ， OC=4 ，则 △OBC 的面积是（ ）
A．43 B．23 C．2 D．4
6．如图，在 ΔABC 中， ∠BAC=60° 其周长为20，⊙I是 ΔABC 的内切圆，其半径为 3 ，则 ΔBIC 的外接圆半径为（ ）
A．7 B．73 C．722 D．733
7．如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
8．如图，在 ΔABC 中， AB+AC=52BC ， AD⊥BC 于D，⊙O为 ΔABC 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 Rh 的值为（ ）
A．12 B．27 C．13 D．34
9．如图，在 △ABC 中， AB=AC>BC ．小丽按照下列方法作图：
①作 ∠BAC 的角平分线 AD ，交 BC 于点D；
②作 AC 的垂直平分线，交 AD 于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是 △ABC 的外心 B．点E是 △ABC 的内心
C．点E在 ∠B 的平分线上 D．点E到 AC,BC 边的距离相等
10．⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
二、填空题
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=CB,AD=CD ．若 ∠ABD=∠ACD=30°,AD=1 ，则 △ABC 的内切圆面积 （结果保留 π ）．
13．如图，已知 ⊙O 的半径为2，弦 AB=23 ，点 P 为优弧 APB 上动点，点 I 为 △PAB 的内心，当点 P 从点 A 向点 B 运动时，点 I 移动的路径长为 .
14．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
15．已知△ABC 的三边之和为m，S△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为 .
16．如图，边长为 23 的等边△ABC的内切圆的半径为 .
三、综合题
17．如图，开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.
（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.
（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求 ka 得值.
（3）已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于 （直接写出结果）.
②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ΔABC ，且 ∠B=90° ．
（1）将 ΔABC 绕点 O 顺时针旋转90°后得到 ΔEFG （其中 A,B,C 三点旋转后的对应点分别是 E,F,G ），画出 ΔEFG ．
（2）设 ΔEFG 的内切圆的半径为 r ， ΔEFG 的外接圆的半径为 R ，则 rR= ．
19．阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 OI2=R2-2Rr .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ IMIA=IDIN ，
∴ IA⋅ID=IM⋅IN①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ IADE=IFBD ，∴ IA⋅BD=DE⋅IF②，
任务：
（1）观察发现： IM=R+d ， IN= (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
20．如图，点 E 是 △ABC 的内心， AE 的延长线和 △ABC 的外接圆 ⊙O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG//BC .
（1）求证： DG 是 ⊙O 的切线；
（2）求证： DE=CD ；
（3）若 DE=25 ， BC=8 ，求 ⊙O 的半径.
21．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数;
（2）如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证:四边形ABCD是等邻边互补四边形;
（3）在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB, tan∠ABC= 247 ，AC=12,求FG的长;
（4）如图3,四边形ABCD内接于圆O，AB=BC, BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F,连结FC，设tan∠BAF=x， EFAE=y ，求y与x之间的函数关系式.
22．已知直线y= -34x+3 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.
（1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；
（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？
（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.
23．在△ABC中，∠C= α ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 α =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 α 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， α =90°；②如图， α =60°.
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．
（1）填空：AC＝ ；∠F＝ ．
（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．
（3）△EAF面积的最小值是 ．
（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围 ．
25．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI 2 =R 2 -2Rr.
下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴ IMIA=IDIN ，∴IA×ID=IM×IN①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴ IADE=IFBD ，∴ IA⋅BD=DE⋅IF②，
由（2）知： BD=ID ，
∴ IA⋅ID=DE⋅IF
又∵ DE⋅IF=IM⋅IN ，
∴2Rr=（R+d）（R-d），
∴R 2 -d 2 =2Rr
∴d 2 =R 2 -2Rr
任务：
（1）观察发现：IM=R+d，IN= （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）
（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离 cm．
26．如图，点 E 是 ΔABC 的内心， AE 的延长线和 ΔABC 的外接圆圆 O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG//BC .
（1）求证： DG 是圆 O 的切线；
（2）若 DE=6 ， BC=63 ，求优弧 BAC 的长.
答案
1．B
2．D
3．C
4．B
5．B
6．D
7．B
8．B
9．A
10．D
11．4 cm
12．14π
13．43π
14．210-2
15．2Sl
16．1
17．（1）解：由 ax2-2ax-3a=0 ， a>0 ，
解得 x1=-1,x2=3 ，
∴ A(-1,0) ， B(3,0) .
∵直线 y=kx+b 经过点A，
∴ -k+b=0 ， b=k ，
∴直线 AC 的解析式为 y=kx+k .
由 y=ax2-2ax-3ay=kx+k ，
解得： x1=-1y1=0 ， x2=-k+3aay2=k2+4aka ，
∴ C(k+3aa,k2+4aka) ；
（2）解：过D作Y轴的平行线 DE 交 AC 于E、交X轴于点F，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为 x=--2a2a=1 ，
∴ D(1,-4a) .
∵ DE//Y 轴且点E在直线 y=kx+k 上，
∴ E(1,2k) .
∵ △ACD 的内心恰在x轴上，
∴x轴平分 ∠CAD ，
∴ ∠EAF=∠DAF ，
∴ EF=DF ，
∴ 2k=4a ，
∴ ⋅ka=42=2 ；
（3）①12
②解：当 a=12 ， C(2k+3,8k+12) 过点Р做直线 l//X 轴，作 AM⊥l,CN⊥l 垂足分别为M、N， ∵ △APC∽△ADB ， △ADB 为等腰直角三角形， ∴ △APC 也为等腰三角形， ∴ CP=AP,∠APC=90° ， ∴∠APM+∠CPN=90° . ∵∠APM+∠MAP=90° ， ∴∠CPN=∠MAP ， ∵∠AMP=∠PNC,AP=PC ， ∴Rt△CNP≌Rt△PMA ， ∴ CN=PM ， AN=AM . 设 P(m,12m2-m-32) ， 由 CN=PM 得 8k+12-(12m2-m-32)=m+1 ， 由 PN=AM 得 2k+3-m=-(12m2-m-32) ， 注意到 k>0 由上两式可解得 k=14 ， m=2 ， ∴ P(2,-32) .
18．（1）解： ΔEFG 如图所示，
（2）25
19．（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 IA⋅ID=IM⋅IN ， IA⋅BD=DE⋅IF ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ 2Rr=(R+d)(R-d) ，
∴ R2-d2=2Rr
∴ d2=R2-2Rr ；
（4）5
20．（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H ，如图，
∵点 E 是 △ABC 的内心，
∴ AD 平分 ∠BAC ，即 ∠BAD=∠CAD ，
∴ BD=CD ，
∴ OD⊥BC ， BH=CH
∵ DG//BC ，
∴ OD⊥DG ，
∴ DG 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 BD ，如图，
∵点 E 是 △ABC 的内心，
∴ ∠ABE=∠CBE ，
∵ ∠DBC=∠BAD ，
∴ ∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE ，
∴△BDE 为等腰三角形
∴BD=DE
∵∠BAD=∠CAD∴BD=DC
∴ DE=DC .
（3）∵BD=DC ，
∴OD 垂直平分BC
∴∠BHD=∠BHO=90°
∵BC=8∴BH=12BC=4
∵DE=BD=25
∴ 在 Rt△BHD 中
DH=BD2-BH2=20-16=2
设半径为 r ，则 OB=r,OH=r-2
∴ 在 Rt△BHO 中, OB2=OH2+BH2
∴r2=42+(r-2)2
解得 r=5
∴ ⊙O的半径为：5.
21．（1）解：如图，作AH∥DC.
∵AD∥BC，AH∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AH=CD，AD=HC.
∵AB=AD=CD，BC=2AD，
∴AB=AH=BH，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠B=60°.
（2）证明：连接CD，如图所示：
∵ABCD为○O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC，
∴OD⊥AC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是等邻边互补四边形.
（3）解：如图，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，
∵E为AC的中点，AC=12，
∴AE=EC=6，
∴OD⊥AC，AD⏜=DC⏜，
∴∠AOE=∠COE，GA=GC.
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOE=∠ABC，
∴tan∠AOE=tan∠ABC=AEOE=247，
∴OE=74，OA=OE2+AE2=254,
∴CD=2OA=252，DE=92，
∴AD=AE2+DE2=152，
∴GA=10.
∵BG⏜=AB⏜,
∴∠ACB=∠BCG.
∵∠AGF=∠CGF，
∴点F为△AGC的内心，
∴FM=FN=FE，设FM=FN=FE=a，则S△ACG=12(AC+AG+GC)·a=12·AC·EG，
∴a=3，
∴EF=3，
∴GF=EG-EF=5.
（4）解：连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.
∵BD是直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OA=OB，
∴∠BAF=∠ABD=∠CBD，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.
∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，
∴BD⊥AC，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠CBD=α.
∵AM∥FN，
∴y=EFAE=FMAM=CF·sinαAC·cosα=CFACtanα=CFAC·x.
设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n.
∵m2+n2=r2，tan∠ABK=tanα=x=nm+r，
∴r=n-mxx，
∴m2+n2=(n-mxx)2，
∴mn=1-x22x，
∴y=2m2n·x=-12x2+12x（x>0）.
22．（1）解：把x=0代入y= -34x+3 得y=0，∴点B坐标为（0,3），∴OB=3，
把y=0代入y= -34x+3 得 -34x+3=0 ，解得x=4，∴点A坐标为（4,0），∴OA=4，
在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2=5 .
设点P、Q运动时间为t，则AP=5t，AQ=4t
∴ AQAP=4t5t=45 ，
∵ AOAB=45 ，
∴ AOAB=AQAP ，
∵ ∠PAQ=∠BAO ，
∴△APQ∽△ABO，
∴ ∠AQP=∠AOB=90° ，
∴PQ⊥AB；
（2）解：①当P在y轴右侧时， SΔAPQ=12SΔOAB ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ (PAAB)2=SΔAPQSΔOAB=12 ，
∴PA＝ 22AB=522 ，
即5t＝ 522 ，
∴t＝ 22 ；
②当P在y轴左侧时， SΔAPQ=32SΔOAB ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ (PAAB)2=SΔAPQSΔOAB=32 ，
∴PA＝ 62AB=526 ，
∴5t＝ 562 ，
∴t＝ 62 .
综上所述，t＝ 22 或 62 时，四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半；
（3）解：如图，设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r，
∵ SΔAOI+SΔABI=SΔAOB ，
∴ 12×4r+12×5r=12×3×4 ，
∴ r=43 ，
∴AQ＝4+ 43=163 ，
即： 4t=163 ，
∴ t=43 .
23．（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， m=2S△ABCC△ABC ， n=AC+BC+AB2 ，即 n=C△ABC2 ，
由这两个式子可得 S△ABC=mn ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 CD=CE=CD+CE2=AD+AC+BE+BC2=AC+BC+AB2=C△ABC2 ，
∵ PD⊥CD ， PE⊥BC ，
∴ CP 平分 ∠ACB ，
∴ ∠PCE=30° ，
∴ n=PE=CE⋅tan30°=33CE=33×C△ABC2=3C△ABC6 ，
∵ m=2S△ABCC△ABC ，
∴ S△ABC=mC△ABC2=3mn .
24．（1）2 3；30°
（2）当BD＝DE时，
∵AD⊥BC于D，
∴AB＝AE，
∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中， ∠AEF=∠BACAE=AB∠EAF=∠B ，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）332
（4）2
（2）解： BD=ID
∵点I是△ABC的内心
∴ ∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI
∵ ∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴ ∠BID=∠DBI
∴ BD=ID
（3）23
26．（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H ，如图，
∵点 E 是 ΔABC 的内心，
∴ AD 平分 ∠BAC ，
即 ∠BAD=∠CAD ，
∴ BD=CD ，
∴ OD⊥BC ， BH=CH ，
∵ DG//BC ，
∴ OD⊥DG ，
∴ DG 是圆 O 的切线
（2）解：连接 BD 、 OB ，如图，
∵点 E 是 ΔABC 的内心，
∴ ∠ABE=∠CBE ，
∵ ∠DBC=∠BAD ，
∴ ∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE
∴ DB=DE=6 ，
∵ BH=12BC=33 ，
在 RtΔBDH 中， sin∠BDH=BHBD=336=32 ，
∴ ∠BDH=60∘ ，
而 OB=OD ，
∴ ΔOBD 为等边三角形，
∴ ∠BOD=60∘ ， OB=BD=6 ，
∴ ∠BOC=120∘ ，
∴优弧 BAC 的长＝ (360-120)•π•6180=8π
2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习
一、单选题
1．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A．c+2rπr B．c+rπr C．2c+rπr D．c2+r2πr
2．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（ ）
A．35° B．70° C．145° D．107.5°
3．如图，在 △ABC 中， AG 平分 ∠CAB ，使用尺规作射线 CD ，与 AG 交于点 E ，下列判断正确的是（ ）
A．AG 平分 CD
B．∠AED=∠ADE
C．点 E 是 △ABC 的内心
D．点 E 到点 A ， B ， C 的距离相等
4．利用尺规作一个任意三角形的内心 P ，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点 O 为 △ABC 的内心， ∠A=60° ， OB=2 ， OC=4 ，则 △OBC 的面积是（ ）
A．43 B．23 C．2 D．4
6．如图，在 ΔABC 中， ∠BAC=60° 其周长为20，⊙I是 ΔABC 的内切圆，其半径为 3 ，则 ΔBIC 的外接圆半径为（ ）
A．7 B．73 C．722 D．733
7．如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
8．如图，在 ΔABC 中， AB+AC=52BC ， AD⊥BC 于D，⊙O为 ΔABC 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 Rh 的值为（ ）
A．12 B．27 C．13 D．34
9．如图，在 △ABC 中， AB=AC>BC ．小丽按照下列方法作图：
①作 ∠BAC 的角平分线 AD ，交 BC 于点D；
②作 AC 的垂直平分线，交 AD 于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是 △ABC 的外心 B．点E是 △ABC 的内心
C．点E在 ∠B 的平分线上 D．点E到 AC,BC 边的距离相等
10．⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
二、填空题
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为 ．
12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=CB,AD=CD ．若 ∠ABD=∠ACD=30°,AD=1 ，则 △ABC 的内切圆面积 （结果保留 π ）．
13．如图，已知 ⊙O 的半径为2，弦 AB=23 ，点 P 为优弧 APB 上动点，点 I 为 △PAB 的内心，当点 P 从点 A 向点 B 运动时，点 I 移动的路径长为 .
14．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
15．已知△ABC 的三边之和为m，S△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为 .
16．如图，边长为 23 的等边△ABC的内切圆的半径为 .
三、综合题
17．如图，开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.
（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.
（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求 ka 得值.
（3）已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于 （直接写出结果）.
②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 ΔABC ，且 ∠B=90° ．
（1）将 ΔABC 绕点 O 顺时针旋转90°后得到 ΔEFG （其中 A,B,C 三点旋转后的对应点分别是 E,F,G ），画出 ΔEFG ．
（2）设 ΔEFG 的内切圆的半径为 r ， ΔEFG 的外接圆的半径为 R ，则 rR= ．
19．阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 OI2=R2-2Rr .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ IMIA=IDIN ，
∴ IA⋅ID=IM⋅IN①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ IADE=IFBD ，∴ IA⋅BD=DE⋅IF②，
任务：
（1）观察发现： IM=R+d ， IN= (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
20．如图，点 E 是 △ABC 的内心， AE 的延长线和 △ABC 的外接圆 ⊙O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG//BC .
（1）求证： DG 是 ⊙O 的切线；
（2）求证： DE=CD ；
（3）若 DE=25 ， BC=8 ，求 ⊙O 的半径.
21．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.
（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数;
（2）如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证:四边形ABCD是等邻边互补四边形;
（3）在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB, tan∠ABC= 247 ，AC=12,求FG的长;
（4）如图3,四边形ABCD内接于圆O，AB=BC, BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F,连结FC，设tan∠BAF=x， EFAE=y ，求y与x之间的函数关系式.
22．已知直线y= -34x+3 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.
（1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；
（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？
（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.
23．在△ABC中，∠C= α ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 α =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 α 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， α =90°；②如图， α =60°.
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．
（1）填空：AC＝ ；∠F＝ ．
（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．
（3）△EAF面积的最小值是 ．
（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围 ．
25．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI 2 =R 2 -2Rr.
下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴ IMIA=IDIN ，∴IA×ID=IM×IN①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴ IADE=IFBD ，∴ IA⋅BD=DE⋅IF②，
由（2）知： BD=ID ，
∴ IA⋅ID=DE⋅IF
又∵ DE⋅IF=IM⋅IN ，
∴2Rr=（R+d）（R-d），
∴R 2 -d 2 =2Rr
∴d 2 =R 2 -2Rr
任务：
（1）观察发现：IM=R+d，IN= （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）
（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离 cm．
26．如图，点 E 是 ΔABC 的内心， AE 的延长线和 ΔABC 的外接圆圆 O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG//BC .
（1）求证： DG 是圆 O 的切线；
（2）若 DE=6 ， BC=63 ，求优弧 BAC 的长.
答案
1．B
2．D
3．C
4．B
5．B
6．D
7．B
8．B
9．A
10．D
11．4 cm
12．14π
13．43π
14．210-2
15．2Sl
16．1
17．（1）解：由 ax2-2ax-3a=0 ， a>0 ，
解得 x1=-1,x2=3 ，
∴ A(-1,0) ， B(3,0) .
∵直线 y=kx+b 经过点A，
∴ -k+b=0 ， b=k ，
∴直线 AC 的解析式为 y=kx+k .
由 y=ax2-2ax-3ay=kx+k ，
解得： x1=-1y1=0 ， x2=-k+3aay2=k2+4aka ，
∴ C(k+3aa,k2+4aka) ；
（2）解：过D作Y轴的平行线 DE 交 AC 于E、交X轴于点F，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为 x=--2a2a=1 ，
∴ D(1,-4a) .
∵ DE//Y 轴且点E在直线 y=kx+k 上，
∴ E(1,2k) .
∵ △ACD 的内心恰在x轴上，
∴x轴平分 ∠CAD ，
∴ ∠EAF=∠DAF ，
∴ EF=DF ，
∴ 2k=4a ，
∴ ⋅ka=42=2 ；
（3）①12
②解：当 a=12 ， C(2k+3,8k+12) 过点Р做直线 l//X 轴，作 AM⊥l,CN⊥l 垂足分别为M、N， ∵ △APC∽△ADB ， △ADB 为等腰直角三角形， ∴ △APC 也为等腰三角形， ∴ CP=AP,∠APC=90° ， ∴∠APM+∠CPN=90° . ∵∠APM+∠MAP=90° ， ∴∠CPN=∠MAP ， ∵∠AMP=∠PNC,AP=PC ， ∴Rt△CNP≌Rt△PMA ， ∴ CN=PM ， AN=AM . 设 P(m,12m2-m-32) ， 由 CN=PM 得 8k+12-(12m2-m-32)=m+1 ， 由 PN=AM 得 2k+3-m=-(12m2-m-32) ， 注意到 k>0 由上两式可解得 k=14 ， m=2 ， ∴ P(2,-32) .
18．（1）解： ΔEFG 如图所示，
（2）25
19．（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 IA⋅ID=IM⋅IN ， IA⋅BD=DE⋅IF ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ 2Rr=(R+d)(R-d) ，
∴ R2-d2=2Rr
∴ d2=R2-2Rr ；
（4）5
20．（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H ，如图，
∵点 E 是 △ABC 的内心，
∴ AD 平分 ∠BAC ，即 ∠BAD=∠CAD ，
∴ BD=CD ，
∴ OD⊥BC ， BH=CH
∵ DG//BC ，
∴ OD⊥DG ，
∴ DG 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 BD ，如图，
∵点 E 是 △ABC 的内心，
∴ ∠ABE=∠CBE ，
∵ ∠DBC=∠BAD ，
∴ ∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE ，
∴△BDE 为等腰三角形
∴BD=DE
∵∠BAD=∠CAD∴BD=DC
∴ DE=DC .
（3）∵BD=DC ，
∴OD 垂直平分BC
∴∠BHD=∠BHO=90°
∵BC=8∴BH=12BC=4
∵DE=BD=25
∴ 在 Rt△BHD 中
DH=BD2-BH2=20-16=2
设半径为 r ，则 OB=r,OH=r-2
∴ 在 Rt△BHO 中, OB2=OH2+BH2
∴r2=42+(r-2)2
解得 r=5
∴ ⊙O的半径为：5.
21．（1）解：如图，作AH∥DC.
∵AD∥BC，AH∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AH=CD，AD=HC.
∵AB=AD=CD，BC=2AD，
∴AB=AH=BH，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠B=60°.
（2）证明：连接CD，如图所示：
∵ABCD为○O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC，
∴OD⊥AC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是等邻边互补四边形.
（3）解：如图，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥GC于点M，FN⊥AG于点N，
∵E为AC的中点，AC=12，
∴AE=EC=6，
∴OD⊥AC，AD⏜=DC⏜，
∴∠AOE=∠COE，GA=GC.
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOE=∠ABC，
∴tan∠AOE=tan∠ABC=AEOE=247，
∴OE=74，OA=OE2+AE2=254,
∴CD=2OA=252，DE=92，
∴AD=AE2+DE2=152，
∴GA=10.
∵BG⏜=AB⏜,
∴∠ACB=∠BCG.
∵∠AGF=∠CGF，
∴点F为△AGC的内心，
∴FM=FN=FE，设FM=FN=FE=a，则S△ACG=12(AC+AG+GC)·a=12·AC·EG，
∴a=3，
∴EF=3，
∴GF=EG-EF=5.
（4）解：连接AC，作AM⊥BC，FN⊥BC，设AC交BD于点K.
∵BD是直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OA=OB，
∴∠BAF=∠ABD=∠CBD，令∠BAF=α，则∠BCF=∠ABF=α.
∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，
∴BD⊥AC，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠CBD=α.
∵AM∥FN，
∴y=EFAE=FMAM=CF·sinαAC·cosα=CFACtanα=CFAC·x.
设OK=m，AK=m，OB=OA=r，则CF=2m，AC=2n.
∵m2+n2=r2，tan∠ABK=tanα=x=nm+r，
∴r=n-mxx，
∴m2+n2=(n-mxx)2，
∴mn=1-x22x，
∴y=2m2n·x=-12x2+12x（x>0）.
22．（1）解：把x=0代入y= -34x+3 得y=0，∴点B坐标为（0,3），∴OB=3，
把y=0代入y= -34x+3 得 -34x+3=0 ，解得x=4，∴点A坐标为（4,0），∴OA=4，
在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2=5 .
设点P、Q运动时间为t，则AP=5t，AQ=4t
∴ AQAP=4t5t=45 ，
∵ AOAB=45 ，
∴ AOAB=AQAP ，
∵ ∠PAQ=∠BAO ，
∴△APQ∽△ABO，
∴ ∠AQP=∠AOB=90° ，
∴PQ⊥AB；
（2）解：①当P在y轴右侧时， SΔAPQ=12SΔOAB ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ (PAAB)2=SΔAPQSΔOAB=12 ，
∴PA＝ 22AB=522 ，
即5t＝ 522 ，
∴t＝ 22 ；
②当P在y轴左侧时， SΔAPQ=32SΔOAB ，
∵△APQ∽△ABO，
∴ (PAAB)2=SΔAPQSΔOAB=32 ，
∴PA＝ 62AB=526 ，
∴5t＝ 562 ，
∴t＝ 62 .
综上所述，t＝ 22 或 62 时，四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半；
（3）解：如图，设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r，
∵ SΔAOI+SΔABI=SΔAOB ，
∴ 12×4r+12×5r=12×3×4 ，
∴ r=43 ，
∴AQ＝4+ 43=163 ，
即： 4t=163 ，
∴ t=43 .
23．（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， m=2S△ABCC△ABC ， n=AC+BC+AB2 ，即 n=C△ABC2 ，
由这两个式子可得 S△ABC=mn ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 CD=CE=CD+CE2=AD+AC+BE+BC2=AC+BC+AB2=C△ABC2 ，
∵ PD⊥CD ， PE⊥BC ，
∴ CP 平分 ∠ACB ，
∴ ∠PCE=30° ，
∴ n=PE=CE⋅tan30°=33CE=33×C△ABC2=3C△ABC6 ，
∵ m=2S△ABCC△ABC ，
∴ S△ABC=mC△ABC2=3mn .
24．（1）2 3；30°
（2）当BD＝DE时，
∵AD⊥BC于D，
∴AB＝AE，
∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中， ∠AEF=∠BACAE=AB∠EAF=∠B ，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）332
（4）2
（2）解： BD=ID
∵点I是△ABC的内心
∴ ∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI
∵ ∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴ ∠BID=∠DBI
∴ BD=ID
（3）23
26．（1）证明：连接 OD 交 BC 于 H ，如图，
∵点 E 是 ΔABC 的内心，
∴ AD 平分 ∠BAC ，
即 ∠BAD=∠CAD ，
∴ BD=CD ，
∴ OD⊥BC ， BH=CH ，
∵ DG//BC ，
∴ OD⊥DG ，
∴ DG 是圆 O 的切线
（2）解：连接 BD 、 OB ，如图，
∵点 E 是 ΔABC 的内心，
∴ ∠ABE=∠CBE ，
∵ ∠DBC=∠BAD ，
∴ ∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE
∴ DB=DE=6 ，
∵ BH=12BC=33 ，
在 RtΔBDH 中， sin∠BDH=BHBD=336=32 ，
∴ ∠BDH=60∘ ，
而 OB=OD ，
∴ ΔOBD 为等边三角形，
∴ ∠BOD=60∘ ， OB=BD=6 ，
∴ ∠BOC=120∘ ，
∴优弧 BAC 的长＝ (360-120)•π•6180=8π
相关试卷
数学九年级下册2.3 三角形的内切圆同步达标检测题： 这是一份数学九年级下册2.3 三角形的内切圆同步达标检测题，共14页。
初中数学2.3 三角形的内切圆优秀精练： 这是一份初中数学2.3 三角形的内切圆优秀精练，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆习题： 这是一份初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆习题，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
