2022年高考二轮复习数学（文）专题检测05《基本初等函数、函数与方程》（教师版）

专题检测  基本初等函数、函数与方程

A组——“12＋4”满分练

一、选择题

1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

解析：选D　设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝3a＝，解得a＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．

2．函数y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过的点是(　　)

A．(0,0)　　　　　　　 　B．(0，－1)

C．(－2,0)   D．(－2，－1)

解析：选C　令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－2,0)．

3．若a＝log32，b＝lg 0.2，c＝20.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c<b<a   B．b<a<c

C．a<b<c   D．b<c<a

解析：选B　由对数函数的性质可得a＝log32∈(0,1)，b＝lg 0.2<0.由指数函数的性质可得c＝20.2>1，∴b<a<c，故选B.

4．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：选C　令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.

5．已知函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，－log32)   B．(0，log52)

C．(log32,1)   D．(1，log34)

解析：选C　∵函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，且f(x)在(1,2)内单调，

∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1.

6．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且a＝－f，b＝f(log39.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c   B．c>b>a

C．b>a>c   D．c>a>b

解析：选B　∵f(x)是奇函数，∴a＝－f＝f＝f(log310)．

又∵log310>log39.1>log39＝2>20.8，且f(x)在R上单调递减，

∴f(log310)<f(log39.1)<f(20.8)，即c>b>a，故选B.

7．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为(　　)

A．(－∞，＋∞)上的减函数

B．(－∞，＋∞)上的增函数

C．(－1,1)上的减函数

D．(－1,1)上的增函数

解析：选D　由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lg＝lg，令>0，则－1<x<1，排除A、B，又y＝－1在(－1,1)上是增函数，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．选D.

8．若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝－x，则f(2)＋g(4)＝(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

解析：选D　法一：∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，

又f(x)＝－x＝2x，∴g(x)＝log2x，

∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.

法二：∵f(x)＝－x，∴f(2)＝4，即函数f(x)的图象经过点(2,4)，∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，∴函数g(x)的图象经过点(4,2)，∴f(2)＋g(4)＝4＋2＝6.

9．设函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)

解析：选A　由题意可知a2－k－1＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－2－1，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0<a<1.此时g(x)＝loga(x＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1,0)，故选A.

10．已知函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，且a≠1)，当x∈时，恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是(　　)

A.   B．(0，＋∞)

C.   D.

解析：选A　当x∈时，2x2＋x∈(0,1)，因为当x∈时，恒有f(x)>0，所以0<a<1，由2x2＋x>0得x>0或x<－.又2x2＋x＝22－，由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为.

11．设方程10x＝|lg(－x)|的两根分别为x1，x2，则(　　)

A．x1x2<0   B．x1x2＝1

C．x1x2>1   D．0<x1x2<1

解析：选D　作出函数y＝10x，y＝|lg(－x)|的图象，由图象可知，两个根一个小于－1，一个在(－1,0)之间，

不妨设x1<－1，－1<x2<0，

则10x1＝lg(－x1)，

10x2＝|lg(－x2)|＝－lg(－x2)．

两式相减得：lg(－x1)－(－lg(－x2))＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lg(x1x2)＝10x1－10x2<0，

即0<x1x2<1.

12．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x<1时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选B　依题意，可知函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|的图象的交点个数．设－1≤x<0，则0≤x＋1<1，

此时有f(x)＝－f(x＋1)＝－(x＋1)，

又由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

即函数f(x)以2为周期的周期函数．

而y＝ln|x|＝在同一坐标系中作出函数y＝f(x)的图象与y＝ln|x|的图象如图所示，由图可知，两图象有3个交点，

即函数g(x)＝f(x)－ln|x|有3个零点，故选B.

二、填空题

13．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.

解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.

答案：－7

14．已知函数f(x)＝则f＋f＝________.

解析：由题可得f＝log＝2，因为log2<0，所以f＝log2＝2log26＝6，

故f＋f＝8.

答案：8

15．有四个函数：①y＝x；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．

解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．

答案：②④

16．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.

因为函数f(x)有两个不同的零点，所以当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，

令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1.

答案：(0,1]

B组——“12＋4”提速练

一、选择题

1．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)　　　　 　B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)

解析：选D　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．

2．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝ex＋1   B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝e－x＋1   D．f(x)＝e－x－1

解析：选D　与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e－x的图象，∴f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

3．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选B　函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，

就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，

在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，

∴方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数为2.

4．已知定义在R上的函数f(x)＝x，记a＝f(0.90.9)，b＝f(ln(lg 9))，c＝f ，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<a<c   B．a<c<b

C．c<a<b   D．c<b<a

解析：选C　∵0＝lg 1<lg 9<lg 10＝1，∴lg 9∈(0,1)，∴ln(lg 9)<0.

∵0<sin 1<1，∴>1.又0<0.90.9<0.90＝1，且函数f(x)＝x在R上单调递减，

∴c<a<b.故选C.

5．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？(　　)

A．10倍   B．20倍

C．50倍   D．100倍

解析：选D　根据题意有lg A＝lg A0＋lg 10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，

则 ＝100.故选D.

6．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足0<b<1<a，则n的值为(　　)

A．2   B．1

C．－2   D．－1

解析：选D　由题意得函数f(x)＝ax＋x－b为增函数，

所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，

所以函数f(x)＝ax＋x－b在(－1,0)内有一个零点，故n＝－1.

7．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是(　　)

A．f2(x)与f4(x)   B．f1(x)与f3(x)

C．f1(x)与f4(x)   D．f3(x)与f4(x)

解析：选A　f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，f2(x)＝log2(x＋2)，将f2(x)的图象沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.

8．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　)

A．a＋b>0   B．a＋b>1

C．2a＋b>0   D．2a＋b>1

解析：选A　作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)(a<b)，

得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0，∴0＝ab＋a＋b<＋a＋b，

即(a＋b)(a＋b＋4)>0，又易知－1<a<0，b>0， ∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0.故选A.

9．已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于点(1,0)对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－|x|在区间[－3,3]上的零点个数为(　　)

A．5   B．6

C．7   D．8

解析：选A　因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，

又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出y＝f(x)以及g(x)＝|x|在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y＝f(x)－|x|在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.

10．设函数f(x)＝e|ln x|(e为自然对数的底数)．若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，则下列结论一定不成立的是(　　)

A．x2f(x1)>1   B．x2f(x1)＝1

C．x2f(x1)<1   D．x2f(x1)<x1f(x2)

解析：选C　f(x)＝作出y＝f(x)的图象

如图所示，若0<x1<1<x2，则f(x1)＝>1，f(x2)＝x2>1，x2f(x1)>1，则A成立．若0<x2<1<x1，则f(x2)＝>1，f(x1)＝x1>1，则x2f(x1)＝x2x1＝1，则B成立．对于D，若0<x1<1<x2，则x2f(x1)>1，x1f(x2)＝1，则D不成立；若0<x2<1<x1，则x2f(x1)＝1，x1f(x2)>1，则D成立．故选C.

11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝

则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为(　　)

A．8   B．32

C.   D．0

解析：选A　令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝的大致图象，如图所示，

由于y＝f(x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f(x)的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.

12．已知在区间(0,2]上的函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)

A.∪ B.∪

C.∪ D.∪

解析：选A　由函数g(x)＝f(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f(x)，y＝mx在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y＝mx与y＝－3在(0,1]内相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，结合图象可得当－<m≤－2或0<m≤时，函数g(x)＝f(x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点．

二、填空题

13．已知函数f(x)＝若f(e2)＝f(1)，f(e)＝f(0)，则函数f(x)的值域为________．

解析：由题意可得解得

则当x>0时，f(x)＝(ln x)2－2ln x＋3＝(ln x－1)2＋2≥2；

当x≤0时，<ex＋≤e0＋＝，则函数f(x)的值域为∪[2，＋∞)．

答案：∪[2，＋∞)

14．已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝则不等式log2x－(log4x－1)·f(log3x＋1)≤5的解集为________．

解析：原不等式等价于或

解得1≤x≤4或＜x＜1，所以原不等式的解集为.

答案：

15．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k，当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是________．

解析：∵f(x)是幂函数，∴(m－1)2＝1，解得m＝2或m＝0.

若m＝2，则f(x)＝x－2，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；

若m＝0，则f(x)＝x2，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，

故f(x)＝x2.

当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，g(x)∈[2－k,4－k)，即A＝[1,4)，B＝[2－k,4－k)，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，则解得0≤k≤1.

答案：[0,1]

16．若关于x的方程(lg a＋lg x)·(lg a＋2lg x)＝4的所有解都大于1，则实数a的取值范围为________．

解析：由题意可得2(lg x)2＋3(lg a)·(lg x)＋(lg a)2－4＝0，令lg x＝t>0，

则有2t2＋3(lg a)·t＋(lg a)2－4＝0的解都是正数，

设f(t)＝2t2＋3(lg a)·t＋(lg a)2－4，

则解得lg a<－2，

所以0<a<，所以实数a的取值范围是.

答案：