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2022年高考二轮复习数学（文）专题检测18《选填“12＋4”限时提速练》（教师版）
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这是一份2022年高考二轮复习数学（文）专题检测18《选填“12＋4”限时提速练》（教师版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
“12＋4”限时提速练(一)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知N是自然数集，设集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2}
C．{2,3} D．{0,2,4}
解析：选B ∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故选B.
2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选C 因为(1＋i)z＝2i，
所以z＝＝＝1＋i.
3．设向量a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，若a∥b，则实数m的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．－3
解析：选A 因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，
所以2m＝m＋1，解得m＝1.
4．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选B 由题意可得，数列{an}的通项公式为an＝2n，
又am＝aq6＝210，所以m＝10.
5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝16 B．x2＋(y－6)2＝72
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
解析：选C 由题意得圆C经过点(0，±2)，设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
由a2＋4＝r2，(6－a)2＝r2，解得a＝，r2＝，
所以该圆的标准方程为2＋y2＝.
6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88，
所以＝88，解得m＝3.
因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n＝9.
所以m，n的等差中项为＝＝6.
7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )
A．2 B．2
C．3 D.＋1
解析：选D 因为正方形的边长为，
所以正方形的对角线长为2，
设俯视图中圆的半径为R，
如图，可得R＝＋1.
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )
A．121 B．81
C．74 D．49
解析：选B 第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；
第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；
第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40，不满足a≤32，退出循环，输出S的值为81.
9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ|≤的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
解析：选B 由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ＝，sin θ＝，又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A1AEFD的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选D 连接AF，易知四棱锥A1AEFD的体积为三棱锥FA1AD和三棱锥FA1AE的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则VFA1AD＝××a×h×a＝a2h，VFA1AE＝××a×h×a＝a2h，所以四棱锥A1AEFD的体积为a2h，又a2h＝36，所以四棱锥A1AEFD的体积为12.
11．函数f(x)＝(2x2＋3x)ex的图象大致是( )
解析：选A 由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；
又f′(x)＝(2x2＋7x＋3)ex，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A.
12．已知函数f(x)＝ln x＋x与g(x)＝ax2＋ax－1(a＞0)的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设T(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－ax2－ax＋1，
由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．
T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)·＝(x＋1)··(1－ax)．
因为a＞0，x＞0，
所以T(x)在上单调递增，在上单调递减，如图，
当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，
所以T＝0，即ln ＋－－1＋1＝0，所以ln＋＝0.
因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，
所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．
当a＝时，ln＋>0，当a＝1时，ln ＋＝＞0，
当a＝时，ln＋＜0，当a＝2时，ln ＋＜0，所以a∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则由f(x)＋f(－x)＝0，得＋＝0，即ax＝0，则a＝0.
答案：0
14．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
作出直线3x＋y＝0，平移该直线，
当直线经过点A时，z取得最大值．
联立
解得所以zmax＝3×(－1)＋＝.
答案：
15．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线－y2＝1有相同渐近线，焦点位于x轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．
解析：与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－y2＝λ，
因为双曲线焦点在x轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2，
所以λ＝4，所求方程为－＝1.
答案：－＝1
16．如图所示，在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，若BE＝2DE，S△ADE＝，则＝________.
解析：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，
由正弦定理得＝，所以sin∠ABC＝.
又∠ABC为锐角，所以cos∠ABC＝.因为BE＝2DE，所以S△ABE＝2S△ADE.
又因为S△ADE＝，所以S△ABD＝4.因为S△ABD＝×BD×AB×sin∠ABC，所以BD＝6.
由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD，可得AD＝4.
因为S△ABE＝×AB×AE×sin∠BAE，S△DAE＝×AD×AE×sin∠DAE，
所以＝2×＝4.
答案：4
“12＋4”限时提速练(二)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，
所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.
2．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B＝( )
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：选A ∵≤2x＜ ，∴－1≤x＜，∴A＝.
∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，∴A∩B＝.
3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为函数y＝2x是R上的增函数，所以函数f(x)的值域是(0,1)，
由几何概型的概率公式得，所求概率P＝＝.
4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则 ·＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，在上的投影||cos〈，〉＝||＝2，
∴·＝||||cos〈，〉＝4.
5．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．－3 B.
C．3 D．4
解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B时，z＝2x＋y取得最大值．由得所以B(2，－1)，故zmax＝2×2－1＝3.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是( )
A．i≤4? B．i≥4?
C．i≤5? D．i≥5?
解析：选C 执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.
7．将函数y＝2sincos的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据题意可得y＝sin，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin 的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝，故选B.
8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )
A．82平方里 B．83平方里
C．84平方里 D．85平方里
解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝＝84(平方里)．故选C.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．5π＋18 B．6π＋18
C．8π＋6 D．10π＋6
解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6.
10．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，
∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，
又函数f(x)在[－2,0]上单调递增，∴函数f(x)在[0,2]上单调递减，
∵f(x－1)≤f(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴解得－1≤x≤.
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a4a12＝81，则＋的最小值是( )
A. B．9
C．1 D．3
解析：选C 因为{an}为等比数列，
所以a1a11＋2a5a9＋a4a12＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝81，
又因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a6＋a8＝9，
所以＋＝(a6＋a8)＝5＋＋≥＝1，
当且仅当＝，a6＋a8＝9，即a6＝3，a8＝6时等号成立，所以＋的最小值是1.
12．过抛物线y＝x2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若 △ABC为正三角形，则其边长为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 由题意可知，焦点F(0,1)，
易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立消去y，得x2－4kx－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
设线段AB的中点为M，则M(2k,2k2＋1)，
|AB|＝＝＝4(1＋k2)．
设C(m，－1)，连接MC，∵△ABC为等边三角形，
∴kMC＝＝－，m＝2k3＋4k，点C(m，－1)到直线y＝kx＋1的距离
|MC|＝＝|AB|，∴＝×4(1＋k2)，即＝2(1＋k2)，
解得k＝±，∴|AB|＝4(1＋k2)＝12.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.
答案：5
14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．
解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；
若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；
若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．
答案：乙
15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
解析：由F(－c,0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，
yB＝.由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，所以离心率e＝.
答案：
16．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．
解析：记该直角三角形为△ABC，且AC为斜边．
法一：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
取AC的中点O，连接BO，∴BO＝AC，
∴AC取得最小值即BO取得最小值，即点B到平面ADEF的距离．
∵△AHD是边长为2的正三角形，
∴点B到平面ADEF的距离为，
∴AC的最小值为2.
法二：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
设BH＝m(m≥0)，CD＝n(n≥0)，
∴AB2＝4＋m2，BC2＝4＋(n－m)2，AC2＝4＋n2.
∵AC为Rt△ABC的斜边，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即4＋m2＋4＋(n－m)2＝4＋n2，∴m2－nm＋2＝0，∴m≠0，n＝＝m＋，
∴AC2＝4＋2≥4＋8＝12，当且仅当m＝，即m＝时等号成立，
∴AC≥2，故AC的最小值为2.
答案：2
“12＋4”限时提速练(三)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a，b∈R，复数a＋bi＝，则a＋b＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选C 因为a＋bi＝＝＝＝－1＋i，
所以a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
2．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D 由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为sin ＝sin＝sin ＝，cos ＝cos
＝－cos ＝－，所以点在角α的终边上，
且该点到角α顶点的距离r＝＝1，所以sin α＝－.
4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．
根据该统计图判断，下列结论正确的是( )
A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差
D．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值
解析：选D 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.
5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图，该四棱锥的高h＝，底面ABCD是边长分别为2，的矩形，所以该四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×h＝×2××＝2.故选D.
6．在如图所示的程序框图中，如果输入a＝1，b＝1，则输出的S＝( )
A．7 B．20
C．22 D．54
解析：选B 执行程序，a＝1，b＝1，S＝0，k＝0，k≤4，S＝2，a＝2，b＝3；k＝2，k≤4，S＝7，a＝5，b＝8；k＝4，k≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝6，不满足k≤4，退出循环．则输出的S＝20.
7．已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )
A．3＋或3－ B．3＋2或3－2
C．9或－3 D．8或－2
解析：选A 由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，|AC|＝，∠ACD＝60°，所以|CD|＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±.
8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0
A. B.
C. D.
解析：选B 由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
所以bn＝log2an＝
当n≥2时，＝＝－，
所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.
10．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
解析：选C 法一：当x≥1时，由ln x＋1＝2，得x＝e.由方程f(x)＝2有两个解知，当x＜1时，方程x2－4x＋a＝2有唯一解．令g(x)＝x2－4x＋a－2＝(x－2)2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，所以当x＜1时，g(x)＝0有唯一解，
则g(1)＜0，得a＜5，故选C.
法二：随着a的变化引起y＝f(x)(x＜1)的图象上下平移，作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使f(x)＝2有两个解，则 a－3<2，得a<5.
11．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义得|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，
所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，
由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos 60°，化简得＝，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A f′(x)＝＋＝(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝2或ex＝kx2(x＞0)．
由x＝2是函数f(x)的唯一极值点知ex≥kx2(x＞0)恒成立或ex≤kx2(x＞0)恒成立，
由y＝ex(x＞0)和y＝kx2(x＞0)的图象可知，只能是ex≥kx2(x＞0)恒成立．
当x＞0时，由ex≥kx2，得k≤.设g(x)＝，则k≤g(x)min.
由g′(x)＝，得当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)min＝g(2)＝，所以k≤.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.
解析：法一：因为|2a＋b|＝2，
所以4a2＋4a·b＋b2＝8.
因为a⊥b，所以a·b＝0.
又|a|＝1，所以4×1＋4×0＋b2＝8，所以|b|＝2.
法二：如图，作出＝2a，＝b，＝2a＋b，
因为a⊥b，所以OA⊥OB，因为|a|＝1，|2a＋b|＝2，
所以||＝2，||＝2，所以||＝|b|＝2.
法三：因为a⊥b，所以以O为坐标原点，以a，b的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b＝(0，y)(y＞0)，则2a＋b＝(2，y)，因为|2a＋b|＝2，所以4＋y2＝8，解得y＝2，所以|b|＝2.
答案：2
14．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，4)时，目标函数z＝x＋3y取得最大值，且zmax＝12.
答案：12
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：由＝及正弦定理，得＝，即tan A＝tan B，所以A＝B，即a＝b.由cos C＝且c＝3，结合余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2，得a＝b＝，又sin C＝＝，所以△ABC的面积S＝absin C＝.
答案：
16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．
解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，
∴PA＝PB＝2.
∵C，D分别为PA，AB的中点，
∴PC＝CD＝且PC⊥CD.连接PG，P′G，
∵G为CD的中点，∴PG＝P′G＝.
连接HG，∵点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，
∴P′H⊥平面α，∴P′H⊥HG，∴HG＜P′G＝.
易知点G到线段AB的距离为，∴HG≥，∴≤HG＜.
又P′H＝，
∴0＜P′H≤.
答案：
“12＋4”限时提速练(四)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z＝的共轭复数对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 复数z＝＝＝＝＋i，则复数z的共轭复数为＝－i，所以复数z的共轭复数对应的点的坐标是，该点位于第四象限．
2．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A．(－∞，2] B．(0,1]
C．[0,1] D．(0,2]
解析：选B 由≥1得≤0，
解得0
则N＝{y|y≤1}，因此M∩N＝{x|0
A．52 B．78
C．104 D．208
解析：选C 依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104，选C.
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝ －2x，则f(1)＋f(4)等于( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，
又f(x)是定义在R上的偶函数，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，
又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－.
5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选C 依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，
||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.
6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
第8行
第9行
A．07 B．25
C．42 D．52
解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.
7．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示，
故所求概率P(y≤2x)＝＝.
8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，2，4，则其外接球的表面积为( )
A．48π B．32π
C．20π D．12π
解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R＝ ＝2，因此三棱锥外接球的表面积为4πR2＝32π.
9．已知点P，A，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，P(x 2，y 2)，则B(－x1，－y 1)，所以两式相减得＝，即＝，因为直线PA，PB的斜率之积为，所以kPA·kPB＝·＝＝＝，所以双曲线的离心率为e＝＝ ＝.
10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 依题意得，函数y＝sin＝sin是奇函数，则sin＝0，又|φ|<，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以f(x)＝sin∈，所以f(x)＝sin在上的最小值为－.
11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝x3－3x，则方程f[f(x)]＝1的实根的个数是( )
A．9 B．7
C．5 D．3
解析：选A 依题意得f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1
在平面直角坐标系内画出直线y＝1与函数y＝f(x)的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，
记这三个交点的横坐标由小到大依次为x1，x2，x3，
则－
所以方程f[f(x)]＝1的实根个数是9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝________.
解析：因为当x<0时，f(x)＝2x，令x>0，则－x<0，故f(－x)＝2－x，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－2－x，又因为log49＝log23>0，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2＝－.
答案：－
14．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________.
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，
所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；
由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
15．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△ABC的面积为，则抛物线的方程为________．
解析：如图，可得|BF|＝，则由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又△ABC的面积为，所以××＝，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
16．在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.
设cn＝＋，则数列{cn}的前2 018项和为________．
解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，所以＝2，
所以数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，即an＋bn＝2n，
将an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘，得＝2，
所以数列{anbn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以anbn＝2n－1，因为cn＝＋，所以cn＝＝＝2，
数列{cn}的前2 018项和为2×2 018＝4 036.
答案：4 036
“12＋4”限时提速练(一)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知N是自然数集，设集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2}
C．{2,3} D．{0,2,4}
解析：选B ∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}．故选B.
2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选C 因为(1＋i)z＝2i，
所以z＝＝＝1＋i.
3．设向量a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，若a∥b，则实数m的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．－3
解析：选A 因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，
所以2m＝m＋1，解得m＝1.
4．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选B 由题意可得，数列{an}的通项公式为an＝2n，
又am＝aq6＝210，所以m＝10.
5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝16 B．x2＋(y－6)2＝72
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
解析：选C 由题意得圆C经过点(0，±2)，设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
由a2＋4＝r2，(6－a)2＝r2，解得a＝，r2＝，
所以该圆的标准方程为2＋y2＝.
6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88，
所以＝88，解得m＝3.
因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n＝9.
所以m，n的等差中项为＝＝6.
7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )
A．2 B．2
C．3 D.＋1
解析：选D 因为正方形的边长为，
所以正方形的对角线长为2，
设俯视图中圆的半径为R，
如图，可得R＝＋1.
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )
A．121 B．81
C．74 D．49
解析：选B 第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；
第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；
第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40，不满足a≤32，退出循环，输出S的值为81.
9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ|≤的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
解析：选B 由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝，∴2sin θ＝，sin θ＝，又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A1AEFD的体积为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选D 连接AF，易知四棱锥A1AEFD的体积为三棱锥FA1AD和三棱锥FA1AE的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则VFA1AD＝××a×h×a＝a2h，VFA1AE＝××a×h×a＝a2h，所以四棱锥A1AEFD的体积为a2h，又a2h＝36，所以四棱锥A1AEFD的体积为12.
11．函数f(x)＝(2x2＋3x)ex的图象大致是( )
解析：选A 由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；
又f′(x)＝(2x2＋7x＋3)ex，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A.
12．已知函数f(x)＝ln x＋x与g(x)＝ax2＋ax－1(a＞0)的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设T(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－ax2－ax＋1，
由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．
T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)·＝(x＋1)··(1－ax)．
因为a＞0，x＞0，
所以T(x)在上单调递增，在上单调递减，如图，
当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，
所以T＝0，即ln ＋－－1＋1＝0，所以ln＋＝0.
因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，
所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．
当a＝时，ln＋>0，当a＝1时，ln ＋＝＞0，
当a＝时，ln＋＜0，当a＝2时，ln ＋＜0，所以a∈.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则由f(x)＋f(－x)＝0，得＋＝0，即ax＝0，则a＝0.
答案：0
14．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
作出直线3x＋y＝0，平移该直线，
当直线经过点A时，z取得最大值．
联立
解得所以zmax＝3×(－1)＋＝.
答案：
15．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线－y2＝1有相同渐近线，焦点位于x轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．
解析：与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－y2＝λ，
因为双曲线焦点在x轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2，
所以λ＝4，所求方程为－＝1.
答案：－＝1
16．如图所示，在△ABC中，∠ABC为锐角，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，若BE＝2DE，S△ADE＝，则＝________.
解析：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝8，sin∠ACB＝，
由正弦定理得＝，所以sin∠ABC＝.
又∠ABC为锐角，所以cos∠ABC＝.因为BE＝2DE，所以S△ABE＝2S△ADE.
又因为S△ADE＝，所以S△ABD＝4.因为S△ABD＝×BD×AB×sin∠ABC，所以BD＝6.
由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD，可得AD＝4.
因为S△ABE＝×AB×AE×sin∠BAE，S△DAE＝×AD×AE×sin∠DAE，
所以＝2×＝4.
答案：4
“12＋4”限时提速练(二)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，
所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.
2．设集合A＝，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B＝( )
A. B．[－1,0)
C. D．[－1,1]
解析：选A ∵≤2x＜ ，∴－1≤x＜，∴A＝.
∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，∴A∩B＝.
3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为函数y＝2x是R上的增函数，所以函数f(x)的值域是(0,1)，
由几何概型的概率公式得，所求概率P＝＝.
4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则 ·＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，在上的投影||cos〈，〉＝||＝2，
∴·＝||||cos〈，〉＝4.
5．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．－3 B.
C．3 D．4
解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B时，z＝2x＋y取得最大值．由得所以B(2，－1)，故zmax＝2×2－1＝3.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是( )
A．i≤4? B．i≥4?
C．i≤5? D．i≥5?
解析：选C 执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.
7．将函数y＝2sincos的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据题意可得y＝sin，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin 的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝，故选B.
8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )
A．82平方里 B．83平方里
C．84平方里 D．85平方里
解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝＝84(平方里)．故选C.
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．5π＋18 B．6π＋18
C．8π＋6 D．10π＋6
解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6.
10．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，
∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，
又函数f(x)在[－2,0]上单调递增，∴函数f(x)在[0,2]上单调递减，
∵f(x－1)≤f(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴解得－1≤x≤.
11．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a4a12＝81，则＋的最小值是( )
A. B．9
C．1 D．3
解析：选C 因为{an}为等比数列，
所以a1a11＋2a5a9＋a4a12＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝81，
又因为等比数列{an}的各项均为正数，所以a6＋a8＝9，
所以＋＝(a6＋a8)＝5＋＋≥＝1，
当且仅当＝，a6＋a8＝9，即a6＝3，a8＝6时等号成立，所以＋的最小值是1.
12．过抛物线y＝x2的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若 △ABC为正三角形，则其边长为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 由题意可知，焦点F(0,1)，
易知过焦点F的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立消去y，得x2－4kx－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
设线段AB的中点为M，则M(2k,2k2＋1)，
|AB|＝＝＝4(1＋k2)．
设C(m，－1)，连接MC，∵△ABC为等边三角形，
∴kMC＝＝－，m＝2k3＋4k，点C(m，－1)到直线y＝kx＋1的距离
|MC|＝＝|AB|，∴＝×4(1＋k2)，即＝2(1＋k2)，
解得k＝±，∴|AB|＝4(1＋k2)＝12.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.
答案：5
14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．
解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；
若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；
若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．
答案：乙
15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．
解析：由F(－c,0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，
yB＝.由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，所以离心率e＝.
答案：
16．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．
解析：记该直角三角形为△ABC，且AC为斜边．
法一：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
取AC的中点O，连接BO，∴BO＝AC，
∴AC取得最小值即BO取得最小值，即点B到平面ADEF的距离．
∵△AHD是边长为2的正三角形，
∴点B到平面ADEF的距离为，
∴AC的最小值为2.
法二：如图，不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合，
设BH＝m(m≥0)，CD＝n(n≥0)，
∴AB2＝4＋m2，BC2＝4＋(n－m)2，AC2＝4＋n2.
∵AC为Rt△ABC的斜边，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即4＋m2＋4＋(n－m)2＝4＋n2，∴m2－nm＋2＝0，∴m≠0，n＝＝m＋，
∴AC2＝4＋2≥4＋8＝12，当且仅当m＝，即m＝时等号成立，
∴AC≥2，故AC的最小值为2.
答案：2
“12＋4”限时提速练(三)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知a，b∈R，复数a＋bi＝，则a＋b＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
解析：选C 因为a＋bi＝＝＝＝－1＋i，
所以a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
2．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选D 由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为sin ＝sin＝sin ＝，cos ＝cos
＝－cos ＝－，所以点在角α的终边上，
且该点到角α顶点的距离r＝＝1，所以sin α＝－.
4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．
根据该统计图判断，下列结论正确的是( )
A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差
D．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值
解析：选D 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.
5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图，该四棱锥的高h＝，底面ABCD是边长分别为2，的矩形，所以该四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×h＝×2××＝2.故选D.
6．在如图所示的程序框图中，如果输入a＝1，b＝1，则输出的S＝( )
A．7 B．20
C．22 D．54
解析：选B 执行程序，a＝1，b＝1，S＝0，k＝0，k≤4，S＝2，a＝2，b＝3；k＝2，k≤4，S＝7，a＝5，b＝8；k＝4，k≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝6，不满足k≤4，退出循环．则输出的S＝20.
7．已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )
A．3＋或3－ B．3＋2或3－2
C．9或－3 D．8或－2
解析：选A 由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，|AC|＝，∠ACD＝60°，所以|CD|＝，由点到直线的距离公式得＝，解得m＝3±.
8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0
A. B.
C. D.
解析：选B 由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
所以bn＝log2an＝
当n≥2时，＝＝－，
所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.
10．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
解析：选C 法一：当x≥1时，由ln x＋1＝2，得x＝e.由方程f(x)＝2有两个解知，当x＜1时，方程x2－4x＋a＝2有唯一解．令g(x)＝x2－4x＋a－2＝(x－2)2＋a－6，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，所以当x＜1时，g(x)＝0有唯一解，
则g(1)＜0，得a＜5，故选C.
法二：随着a的变化引起y＝f(x)(x＜1)的图象上下平移，作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使f(x)＝2有两个解，则 a－3<2，得a<5.
11．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义得|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，
所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，
由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos 60°，化简得＝，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A f′(x)＝＋＝(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝2或ex＝kx2(x＞0)．
由x＝2是函数f(x)的唯一极值点知ex≥kx2(x＞0)恒成立或ex≤kx2(x＞0)恒成立，
由y＝ex(x＞0)和y＝kx2(x＞0)的图象可知，只能是ex≥kx2(x＞0)恒成立．
当x＞0时，由ex≥kx2，得k≤.设g(x)＝，则k≤g(x)min.
由g′(x)＝，得当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)min＝g(2)＝，所以k≤.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.
解析：法一：因为|2a＋b|＝2，
所以4a2＋4a·b＋b2＝8.
因为a⊥b，所以a·b＝0.
又|a|＝1，所以4×1＋4×0＋b2＝8，所以|b|＝2.
法二：如图，作出＝2a，＝b，＝2a＋b，
因为a⊥b，所以OA⊥OB，因为|a|＝1，|2a＋b|＝2，
所以||＝2，||＝2，所以||＝|b|＝2.
法三：因为a⊥b，所以以O为坐标原点，以a，b的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b＝(0，y)(y＞0)，则2a＋b＝(2，y)，因为|2a＋b|＝2，所以4＋y2＝8，解得y＝2，所以|b|＝2.
答案：2
14．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，4)时，目标函数z＝x＋3y取得最大值，且zmax＝12.
答案：12
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：由＝及正弦定理，得＝，即tan A＝tan B，所以A＝B，即a＝b.由cos C＝且c＝3，结合余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2，得a＝b＝，又sin C＝＝，所以△ABC的面积S＝absin C＝.
答案：
16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．
解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，
∴PA＝PB＝2.
∵C，D分别为PA，AB的中点，
∴PC＝CD＝且PC⊥CD.连接PG，P′G，
∵G为CD的中点，∴PG＝P′G＝.
连接HG，∵点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，
∴P′H⊥平面α，∴P′H⊥HG，∴HG＜P′G＝.
易知点G到线段AB的距离为，∴HG≥，∴≤HG＜.
又P′H＝，
∴0＜P′H≤.
答案：
“12＋4”限时提速练(四)
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z＝的共轭复数对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 复数z＝＝＝＝＋i，则复数z的共轭复数为＝－i，所以复数z的共轭复数对应的点的坐标是，该点位于第四象限．
2．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A．(－∞，2] B．(0,1]
C．[0,1] D．(0,2]
解析：选B 由≥1得≤0，
解得0
则N＝{y|y≤1}，因此M∩N＝{x|0
A．52 B．78
C．104 D．208
解析：选C 依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104，选C.
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝ －2x，则f(1)＋f(4)等于( )
A. B．－
C．－1 D．1
解析：选B 由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期为4的周期函数，
又f(x)是定义在R上的偶函数，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，
又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－.
5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选C 依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，
||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.
6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
第8行
第9行
A．07 B．25
C．42 D．52
解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.
7．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示，
故所求概率P(y≤2x)＝＝.
8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，2，4，则其外接球的表面积为( )
A．48π B．32π
C．20π D．12π
解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R＝ ＝2，因此三棱锥外接球的表面积为4πR2＝32π.
9．已知点P，A，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，P(x 2，y 2)，则B(－x1，－y 1)，所以两式相减得＝，即＝，因为直线PA，PB的斜率之积为，所以kPA·kPB＝·＝＝＝，所以双曲线的离心率为e＝＝ ＝.
10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 依题意得，函数y＝sin＝sin是奇函数，则sin＝0，又|φ|<，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以f(x)＝sin∈，所以f(x)＝sin在上的最小值为－.
11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝.
12．已知函数f(x)＝x3－3x，则方程f[f(x)]＝1的实根的个数是( )
A．9 B．7
C．5 D．3
解析：选A 依题意得f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1
在平面直角坐标系内画出直线y＝1与函数y＝f(x)的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，
记这三个交点的横坐标由小到大依次为x1，x2，x3，
则－
所以方程f[f(x)]＝1的实根个数是9.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝________.
解析：因为当x<0时，f(x)＝2x，令x>0，则－x<0，故f(－x)＝2－x，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－2－x，又因为log49＝log23>0，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2＝－.
答案：－
14．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________.
解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，
所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，
因为α∈，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；
由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.
答案：
15．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△ABC的面积为，则抛物线的方程为________．
解析：如图，可得|BF|＝，则由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又△ABC的面积为，所以××＝，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
16．在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.
设cn＝＋，则数列{cn}的前2 018项和为________．
解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，所以＝2，
所以数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，即an＋bn＝2n，
将an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘，得＝2，
所以数列{anbn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以anbn＝2n－1，因为cn＝＋，所以cn＝＝＝2，
数列{cn}的前2 018项和为2×2 018＝4 036.
答案：4 036
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